Theorem uncmp 21206

Description: The union of two compact sets is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jan-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
uncmp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
uncmp	|- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Proof of Theorem uncmp

Dummy variables c d m n r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Top )
2		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> J e. Top )
3		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( S u. T )
4		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( S C_ X <-> S C_ ( S u. T ) ) )
5	3, 4	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> S C_ X )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ X )
7		uncmp.1	. . . . . . . . 9 |- X = U. J
8	7	cmpsub 21203	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
10		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> X = U. c )
11	6, 10	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ U. c )
12		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> U. m = U. c )
13	12	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( S C_ U. m <-> S C_ U. c ) )
14		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = c -> ~P m = ~P c )
15	14	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> ( ~P m i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
16	15	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n <-> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
17	13, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( m = c -> ( ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) <-> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
18	17	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
20	11, 19	mpid 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
21	9, 20	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
22		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10 |- T C_ ( S u. T )
23		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( T C_ X <-> T C_ ( S u. T ) ) )
24	22, 23	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> T C_ X )
25	24	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ X )
26	7	cmpsub 21203	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ T C_ X ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
27	2, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
28	25, 10	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ U. c )
29		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> U. r = U. c )
30	29	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( T C_ U. r <-> T C_ U. c ) )
31		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = c -> ~P r = ~P c )
32	31	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> ( ~P r i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
33	32	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s <-> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
34	30, 33	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( r = c -> ( ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) <-> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
35	34	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
36	35	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
37	28, 36	mpid 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
38	27, 37	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
39		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) <-> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
40		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( n e. ~P c /\ n e. Fin ) )
41	40	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. ~P c )
42	41	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n C_ c )
43		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( s e. ~P c /\ s e. Fin ) )
44	43	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. ~P c )
45	44	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s C_ c )
46	42, 45	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
47	46	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
48		unss 3787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n C_ c /\ s C_ c ) <-> ( n u. s ) C_ c )
49	47, 48	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ c )
50	40	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. Fin )
51	43	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. Fin )
52		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Fin /\ s e. Fin ) -> ( n u. s ) e. Fin )
53	50, 51, 52	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
54	53	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
55	49, 54	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
56		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
57		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
58	57	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) e. ~P c <-> ( n u. s ) C_ c )
59	58	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
60	56, 59	bitr2i 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
61	55, 60	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
62		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = ( S u. T ) )
63		ssun3 3778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. n -> S C_ ( U. n u. U. s ) )
64		ssun4 3779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T C_ U. s -> T C_ ( U. n u. U. s ) )
65	63, 64	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
66	65	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
67		unss 3787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) <-> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
68	66, 67	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
69	62, 68	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ ( U. n u. U. s ) )
70		uniun 4456	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( n u. s ) = ( U. n u. U. s )
71	69, 70	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ U. ( n u. s ) )
72		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. ~P J -> c C_ J )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> c C_ J )
74	73	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> c C_ J )
75	49, 74	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ J )
76		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ U. J )
77	76, 7	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ X )
78	75, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> U. ( n u. s ) C_ X )
79	71, 78	eqssd 3620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = U. ( n u. s ) )
80		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( n u. s ) -> U. d = U. ( n u. s ) )
81	80	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( n u. s ) -> ( X = U. d <-> X = U. ( n u. s ) ) )
82	81	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. ( n u. s ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
83	61, 79, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
84	83	exp32 631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
85	84	rexlimdvv 3037	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
86	39, 85	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
87	21, 38, 86	syl2and 500	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
88	87	impancom 456	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
89	88	expd 452	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
90	89	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
91	7	iscmp 21191	. 2 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
92	1, 90, 91	sylanbrc 698	1 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  fiuncmp  21207