Theorem xaddcl 12070

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 12055	. 2 |- +e : ( RR* X. RR* ) --> RR*
2	1	fovcl 6765	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   +ecxad 11944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-xadd 11947

This theorem is referenced by:  xaddass  12079  xaddass2  12080  xleadd1a  12083  xleadd1  12085  xltadd1  12086  xaddge0  12088  xle2add  12089  xlt2add  12090  xsubge0  12091  xposdif  12092  xlesubadd  12093  xadddi  12125  xadddir  12126  xadddi2  12127  xadddi2r  12128  xaddcld  12131  ge0xaddcl  12286  xrsmgm  19781  xrs1mnd  19784  xrsds  19789  xrsxmet  22612  xrofsup  29533  supxrgelem  39553  caragenel2d  40746