Theorem xkouni 21402

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	|- J = ( S ^ko R )

Assertion

Ref	Expression
xkouni	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Proof of Theorem xkouni

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ima0 5481	. . . . . . . . 9 |- ( f " (/) ) = (/)
2		0ss 3972	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. S
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- ( f " (/) ) C_ U. S
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( f " (/) ) C_ U. S )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
6		rabid2 3118	. . . . . 6 |- ( ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } <-> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
7	5, 6	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. R = U. R
9		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> R e. Top )
10		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
11		0ss 3972	. . . . . . 7 |- (/) C_ U. R
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> (/) C_ U. R )
13		rest0 20973	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
15		0cmp 21197	. . . . . . 7 |- { (/) } e. Comp
16	14, 15	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) e. Comp )
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
18	17	topopn 20711	. . . . . . 7 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
19	18	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. S e. S )
20	8, 9, 10, 12, 16, 19	xkoopn 21392	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } e. ( S ^ko R ) )
21	7, 20	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
22		xkouni.1	. . . 4 |- J = ( S ^ko R )
23	21, 22	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. J )
24		elssuni 4467	. . 3 |- ( ( R Cn S ) e. J -> ( R Cn S ) C_ U. J )
25	23, 24	syl 17	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ U. J )
26		eqid 2622	. . . . . 6 |- { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp }
27		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
28	8, 26, 27	xkoval 21390	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
29	28	unieqd 4446	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
30	22	unieqi 4445	. . . 4 |- U. J = U. ( S ^ko R )
31		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( R Cn S ) e. _V
32	31	pwex 4848	. . . . . . 7 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
33	8, 26, 27	xkotf 21388	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
34		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
36	32, 35	ssexi 4803	. . . . . 6 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
37		fiuni 8334	. . . . . 6 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
39		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V
40		unitg 20771	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V -> U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
42	38, 41	eqtr4i 2647	. . . 4 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
43	29, 30, 42	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J = U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
44	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
45		sspwuni 4611	. . . 4 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) <-> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
46	44, 45	sylib 208	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
47	43, 46	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J C_ ( R Cn S ) )
48	25, 47	eqssd 3620	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ficfi 8316   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Compccmp 21189   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  xkotopon  21403  xkohaus  21456  xkoptsub  21457