Theorem climxlim2lem 40071

Description: In this lemma for climxlim2 40072 there is the additional assumption that the converging function is complex valued on the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim2lem.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
climxlim2lem.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climxlim2lem.3	|- ( ph -> F : Z --> RR* )
climxlim2lem.4	|- ( ph -> F : Z --> CC )
climxlim2lem.5	|- ( ph -> F ~~> A )

Assertion

Ref	Expression
climxlim2lem	|- ( ph -> F~~>* A )

Proof of Theorem climxlim2lem

Dummy variables x k j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim2lem.5	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> F ~~> A )
3		climxlim2lem.1	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> M e. ZZ )
5		climxlim2lem.2	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6		climxlim2lem.3	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> F : Z --> RR* )
8		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> A e. RR )
9	4, 5, 7, 8	xlimclim2 40066	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> ( F~~>* A <-> F ~~> A ) )
10	2, 9	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> F~~>* A )
11		climxlim2lem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Z --> CC )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
13	12	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) =/= A ) -> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) =/= A ) )
14	13	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) =/= A ) -> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) =/= A ) )
15	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) -> F : Z --> RR* )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR* )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) /\ k e. Z ) -> A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
18		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` k ) -> ( y e. CC <-> ( F ` k ) e. CC ) )
19		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` k ) -> ( y =/= A <-> ( F ` k ) =/= A ) )
20	18, 19	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` k ) -> ( ( y e. CC /\ y =/= A ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) =/= A ) ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( F ` k ) -> ( y - A ) = ( ( F ` k ) - A ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` k ) -> ( abs ` ( y - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
23	22	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` k ) -> ( x <_ ( abs ` ( y - A ) ) <-> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
24	20, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` k ) -> ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) )
25	24	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. RR* /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
26	16, 17, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) =/= A ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
28	14, 27	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
29	28	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
30	29	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) -> A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
31	30	ad4ant14 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) -> A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
32		climcl 14230	. . . . . . . 8 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
33	1, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
34	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A e. RR ) -> A e. CC )
35		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A e. RR ) -> -. A e. RR )
36		prfi 8235	. . . . . . 7 |- { +oo , -oo } e. Fin
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A e. RR ) -> { +oo , -oo } e. Fin )
38		df-xr 10078	. . . . . 6 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
39	34, 35, 37, 38	cnrefiisp 40056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A e. RR ) -> E. x e. RR+ A. y e. RR* ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
40	31, 39	reximddv3 39343	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A e. RR ) -> E. x e. RR+ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
41		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ x e. RR+ )
42		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ k A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
43	41, 42	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
44		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k j e. Z
45	43, 44	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z )
46		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ k A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x
47	45, 46	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
48		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
49	5	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
50	49	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
51		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
52	48, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
53		neqne 2802	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( F ` k ) = A -> ( F ` k ) =/= A )
54	52, 53	impel 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ -. ( F ` k ) = A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
55	54	ad5ant2345 1317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ -. ( F ` k ) = A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
56	55	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ -. ( F ` k ) = A ) -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
57		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
58	57	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
59	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : Z --> CC )
60	49	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
61	59, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
62	61	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
63	33	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. CC )
64	62, 63	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. CC )
65	64	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) e. RR )
66	65	adantl3r 786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) e. RR )
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
68	67	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR+ )
69	68	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
70	66, 69	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x <-> -. x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) )
71	58, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> -. x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
72	71	ad5ant1345 1316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> -. x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ -. ( F ` k ) = A ) -> -. x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
74	56, 73	condan 835	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) = A )
75	47, 74	ralrimia 39315	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A )
76		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k F
77	76, 3, 5, 11	climuz 39976	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
78	1, 77	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
79	78	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
80	79	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
81	80	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
82	75, 81	reximddv3 39343	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A )
83	82	adantllr 755	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. k e. Z ( ( F ` k ) =/= A -> x <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A )
84	40, 83	rexlimddv2 40049	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A e. RR ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A )
85		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ j e. Z )
86		nfra1 2941	. . . . 5 |- F/ k A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A
87	85, 86	nfan 1828	. . . 4 |- F/ k ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A )
88	6	ad3antrrr 766	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> F : Z --> RR* )
89		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> j e. Z )
90	5	uzid3 39662	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
91		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
92	91	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) = A <-> ( F ` j ) = A ) )
93	92	rspcva 3307	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> ( F ` j ) = A )
94	90, 93	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> ( F ` j ) = A )
95	94	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> ( F ` j ) = A )
96	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. RR* )
97	96	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
98	95, 97	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> A e. RR* )
99	98	ad4ant134 1296	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> A e. RR* )
100		rspa 2930	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) = A )
101	100	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) = A )
102	87, 76, 5, 88, 89, 99, 101	xlimconst2 40061	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) = A ) -> F~~>* A )
103	84, 102	rexlimddv2 40049	. 2 |- ( ( ph /\ -. A e. RR ) -> F~~>* A )
104	10, 103	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> F~~>* A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {cpr 4179   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215  ~~>*clsxlim 40044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xms 22125  df-ms 22126  df-xlim 40045

This theorem is referenced by:  climxlim2  40072