Theorem zlmodzxznm 42286

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzequa.o	|- .0. = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
zlmodzxzequa.t	|- .xb = ( .s ` Z )
zlmodzxzequa.m	|- .- = ( -g ` Z )
zlmodzxzequa.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzequa.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	|- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 15406	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. Prime
2		2prm 15405	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
3		ztprmneprm 42125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
4	1, 2, 3	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
5		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
6		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
7	5, 6	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 3
8		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
9	7, 8	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
10	9	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = 2 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
11	4, 10	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) = 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) =/= 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
13	11, 12	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
14	13	olcd 408	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
15		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
16		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 3 ) e. _V
17	15, 16	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V )
18		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
20	14, 19	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. )
21		0ne1 11088	. . . . . . . . . 10 |- 0 =/= 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> 0 =/= 1 )
23	22	orcd 407	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) )
24		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
25	17, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
26	23, 25	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. )
27	20, 26	jca 554	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
28	27	orcd 407	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) )
29		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V
30		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V
31	29, 30	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V )
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) )
33		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 2 >. e. _V
34		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 4 >. e. _V
35	33, 34	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
37	22	orcd 407	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) )
38		opthneg 4950	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
39	17, 38	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
40	37, 39	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. )
41		prnebg 4389	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
42	41	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
44	28, 43	mpbird 247	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
46	45	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( i .xb A ) = ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
47		3z 11410	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
48		6nn 11189	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
49	48	nnzi 11401	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 |- .xb = ( .s ` Z )
52	50, 51	zlmodzxzscm 42135	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
53	47, 49, 52	mp3an23 1416	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
54	46, 53	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
57	44, 54, 56	3netr4d 2871	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) =/= B )
58		ztprmneprm 42125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. Prime /\ 3 e. Prime ) -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
59	2, 1, 58	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
60		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
61	7, 60	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
62	59, 61	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) = 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) =/= 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
64	62, 63	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
65	64	olcd 408	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
66		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 2 ) e. _V
67	15, 66	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V )
68		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
69	67, 68	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
70	65, 69	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. )
71	22	orcd 407	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) )
72		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
73	67, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
74	71, 73	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. )
75	70, 74	jca 554	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) )
76	75	orcd 407	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) )
77		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V
78		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V
79	77, 78	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V )
80	79	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) )
81		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 3 >. e. _V
82		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 6 >. e. _V
83	81, 82	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
84	83	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) )
85	22	orcd 407	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) )
86		opthneg 4950	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
87	67, 86	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
88	85, 87	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. )
89		prnebg 4389	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) )
90	89	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
92	76, 91	mpbird 247	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
93	55	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( i .xb B ) = ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
94		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
95		4z 11411	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
96	50, 51	zlmodzxzscm 42135	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
97	94, 95, 96	mp3an23 1416	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
98	93, 97	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
99	45	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
100	92, 98, 99	3netr4d 2871	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) =/= A )
101	57, 100	jca 554	. 2 |- ( i e. ZZ -> ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A ) )
102	101	rgen 2922	1 |- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   ZZcz 11377   Primecprime 15385   .scvsca 15945   -gcsg 17424  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  42294  ldepsnlinclem2  42295