Theorem ldepsnlinc 42297

Description: The reverse implication of islindeps2 42272 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 42285 and zlmodzxznm 42286. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinc	|- E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) )

Distinct variable group:   f, m, s, v

Proof of Theorem ldepsnlinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
2	1	zlmodzxzlmod 42132	. . 3 |- ( (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
3	2	simpli 474	. 2 |- (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. LMod
4		3z 11410	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
5		6nn 11189	. . . . . 6 |- 6 e. NN
6	5	nnzi 11401	. . . . 5 |- 6 e. ZZ
7	1	zlmodzxzel 42133	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
8	4, 6, 7	mp2an 708	. . . 4 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) )
9		2z 11409	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
10		4z 11411	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
11	1	zlmodzxzel 42133	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
12	9, 10, 11	mp2an 708	. . . 4 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) )
13		prelpwi 4915	. . . 4 |- ( ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) /\ { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } e. ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
14	8, 12, 13	mp2an 708	. . 3 |- { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } e. ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) )
15		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
16		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
17	1, 15, 16	zlmodzxzldep 42293	. . . 4 |- { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
18	1, 15, 16	ldepsnlinclem1 42294	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ( Base ` ℤring ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ℤring = (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
20	19	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) = ℤring )
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) = ℤring
22	21	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) = ( Base ` ℤring )
23	22	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) = ( ( Base ` ℤring ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } )
24	18, 23	eleq2s 2719	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
25	24	a1d 25	. . . . . 6 |- ( f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) -> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) )
26	25	rgen 2922	. . . . 5 |- A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
27	1, 15, 16	ldepsnlinclem2 42295	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ( Base ` ℤring ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
28	22	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) = ( ( Base ` ℤring ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } )
29	27, 28	eleq2s 2719	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
30	29	a1d 25	. . . . . 6 |- ( f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) -> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
31	30	rgen 2922	. . . . 5 |- A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
32		prex 4909	. . . . . 6 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
33		prex 4909	. . . . . 6 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
34		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> { v } = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } )
35	34	difeq2d 3728	. . . . . . . . 9 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) = ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) )
36	1, 15, 16	zlmodzxzldeplem 42287	. . . . . . . . . 10 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
37		difprsn1 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) = { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) = { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } }
39	35, 38	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) = { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) = ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) )
41	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) = ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) )
42		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
43	41, 42	neeq12d 2855	. . . . . . . 8 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> ( ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v <-> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) )
44	43	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> ( ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) <-> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) ) )
45	40, 44	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( v = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } -> ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) ) )
46		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> { v } = { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } )
47	46	difeq2d 3728	. . . . . . . . 9 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) = ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) )
48		difprsn2 4331	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } )
49	36, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } }
50	47, 49	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) = ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) )
52	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) = ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) )
53		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
54	52, 53	neeq12d 2855	. . . . . . . 8 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v <-> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
55	54	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) <-> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) ) )
56	51, 55	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( v = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } -> ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) ) )
57	32, 33, 45, 56	ralpr 4238	. . . . 5 |- ( A. v e. { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) <-> ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } ) =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) /\ A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } } ) =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) ) )
58	26, 31, 57	mpbir2an 955	. . . 4 |- A. v e. { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v )
59	17, 58	pm3.2i 471	. . 3 |- ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) )
60		breq1 4656	. . . . 5 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) <-> { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
61		id 22	. . . . . 6 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } )
62		difeq1 3721	. . . . . . . 8 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( s \ { v } ) = ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) )
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) = ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) )
64	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) = ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) )
65	64	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v <-> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) )
66	65	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) ) )
67	63, 66	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) ) )
68	61, 67	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. v e. { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) ) )
69	60, 68	anbi12d 747	. . . 4 |- ( s = { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } -> ( ( s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) <-> ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) ) ) )
70	69	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } e. ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) /\ ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( { { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } , { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } } \ { v } ) ) =/= v ) ) ) -> E. s e. ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) )
71	14, 59, 70	mp2an 708	. 2 |- E. s e. ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) )
72		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( Base ` m ) = ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
73	72	pweqd 4163	. . . 4 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ~P ( Base ` m ) = ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
74		breq2 4657	. . . . 5 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( s linDepS m <-> s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> (Scalar ` m ) = (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( Base ` (Scalar ` m ) ) = ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) = ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) )
78	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( 0g ` (Scalar ` m ) ) = ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) )
79	78	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) <-> f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( linC ` m ) = ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) )
81	80	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) )
82	81	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v <-> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) )
83	79, 82	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) )
84	77, 83	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) )
85	84	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) )
86	74, 85	anbi12d 747	. . . 4 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) <-> ( s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) ) )
87	73, 86	rexeqbidv 3153	. . 3 |- ( m = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) -> ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) <-> E. s e. ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) ) )
88	87	rspcev 3309	. 2 |- ( ( (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. LMod /\ E. s e. ~P ( Base ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s linDepS (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ) -> ( f ( linC ` (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) ) -> E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) )
89	3, 71, 88	mp2an 708	1 |- E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   ZZcz 11377   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   LModclmod 18863  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090   linC clinc 42193   linDepS clindeps 42230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-linc 42195  df-lininds 42231  df-lindeps 42233

This theorem is referenced by:  ldepslinc  42298