Theorem zlmodzxzldeplem1 42289

Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 42293. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
zlmodzxzldeplem.f	|- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem1	|- F e. ( ZZ ^m { A , B } )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 11386	. 2 |- ZZ e. _V
2		prex 4909	. 2 |- { A , B } e. _V
3		zlmodzxzldep.a	. . . . . . . 8 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
4		prex 4909	. . . . . . . 8 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- A e. _V
6		zlmodzxzldep.b	. . . . . . . 8 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
7		prex 4909	. . . . . . . 8 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
8	6, 7	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. _V
9	5, 8	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( A e. _V /\ B e. _V )
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ZZ e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
11		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
12		3nn0 11310	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
13	12	nn0negzi 11416	. . . . . . 7 |- -u 3 e. ZZ
14	11, 13	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ /\ -u 3 e. ZZ )
15	14	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ZZ e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> ( 2 e. ZZ /\ -u 3 e. ZZ ) )
16		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
17	16, 3, 6	zlmodzxzldeplem 42287	. . . . . 6 |- A =/= B
18	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ZZ e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> A =/= B )
19		fprg 6422	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ ( 2 e. ZZ /\ -u 3 e. ZZ ) /\ A =/= B ) -> { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } : { A , B } --> { 2 , -u 3 } )
20		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . 7 |- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }
21	20	feq1i 6036	. . . . . 6 |- ( F : { A , B } --> { 2 , -u 3 } <-> { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } : { A , B } --> { 2 , -u 3 } )
22	19, 21	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ ( 2 e. ZZ /\ -u 3 e. ZZ ) /\ A =/= B ) -> F : { A , B } --> { 2 , -u 3 } )
23	10, 15, 18, 22	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ZZ e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> F : { A , B } --> { 2 , -u 3 } )
24		prssi 4353	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ -u 3 e. ZZ ) -> { 2 , -u 3 } C_ ZZ )
25	11, 13, 24	mp2an 708	. . . 4 |- { 2 , -u 3 } C_ ZZ
26		fss 6056	. . . 4 |- ( ( F : { A , B } --> { 2 , -u 3 } /\ { 2 , -u 3 } C_ ZZ ) -> F : { A , B } --> ZZ )
27	23, 25, 26	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ZZ e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> F : { A , B } --> ZZ )
28		elmapg 7870	. . 3 |- ( ( ZZ e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> ( F e. ( ZZ ^m { A , B } ) <-> F : { A , B } --> ZZ ) )
29	27, 28	mpbird 247	. 2 |- ( ( ZZ e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> F e. ( ZZ ^m { A , B } ) )
30	1, 2, 29	mp2an 708	1 |- F e. ( ZZ ^m { A , B } )

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   -ucneg 10267   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   ZZcz 11377  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  42290  zlmodzxzldeplem3  42291  zlmodzxzldep  42293