Theorem zorn2lem6 9323

Description: Lemma for zorn2 9328. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	|- F = recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u w v ) ) )
zorn2lem.4	|- C = { z e. A | A. g e. ran f g R z }
zorn2lem.5	|- D = { z e. A | A. g e. ( F " x ) g R z }
zorn2lem.7	|- H = { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z }

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem6	|- ( R Po A -> ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> R Or ( F " x ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, u, v, w, x, y, z, A   D, f, u, v, y   f, F, g, u, v, x, y, z   R, f, g, u, v, w, x, y, z   v, C   x, H, u, v, f

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w, u, f, g)   D( x, z, w, g)   F( w)   H( y, z, w, g)

Proof of Theorem zorn2lem6

Dummy variables a b r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poss 5037	. . . 4 |- ( ( F " x ) C_ A -> ( R Po A -> R Po ( F " x ) ) )
2		zorn2lem.3	. . . . 5 |- F = recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u w v ) ) )
3		zorn2lem.4	. . . . 5 |- C = { z e. A | A. g e. ran f g R z }
4		zorn2lem.5	. . . . 5 |- D = { z e. A | A. g e. ( F " x ) g R z }
5		zorn2lem.7	. . . . 5 |- H = { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z }
6	2, 3, 4, 5	zorn2lem5 9322	. . . 4 |- ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> ( F " x ) C_ A )
7	1, 6	syl11 33	. . 3 |- ( R Po A -> ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> R Po ( F " x ) ) )
8	2	tfr1 7493	. . . . . . . 8 |- F Fn On
9		fnfun 5988	. . . . . . . 8 |- ( F Fn On -> Fun F )
10		fvelima 6248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ s e. ( F " x ) ) -> E. b e. x ( F ` b ) = s )
11		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. b e. x ( F ` b ) = s <-> E. b ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) )
12	10, 11	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ s e. ( F " x ) ) -> E. b ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) )
13	12	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( s e. ( F " x ) -> E. b ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) ) )
14		fvelima 6248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ r e. ( F " x ) ) -> E. a e. x ( F ` a ) = r )
15		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. x ( F ` a ) = r <-> E. a ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) )
16	14, 15	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ r e. ( F " x ) ) -> E. a ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) )
17	16	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( r e. ( F " x ) -> E. a ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) )
18	13, 17	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( ( s e. ( F " x ) /\ r e. ( F " x ) ) -> ( E. b ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) /\ E. a ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) ) )
19	8, 9, 18	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( F " x ) /\ r e. ( F " x ) ) -> ( E. b ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) /\ E. a ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) )
20		an4 865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. x /\ a e. x ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) <-> ( ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) /\ ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) )
21	20	2exbii 1775	. . . . . . . 8 |- ( E. b E. a ( ( b e. x /\ a e. x ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) <-> E. b E. a ( ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) /\ ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) )
22		eeanv 2182	. . . . . . . 8 |- ( E. b E. a ( ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) /\ ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) <-> ( E. b ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) /\ E. a ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) )
23	21, 22	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( E. b E. a ( ( b e. x /\ a e. x ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) <-> ( E. b ( b e. x /\ ( F ` b ) = s ) /\ E. a ( a e. x /\ ( F ` a ) = r ) ) )
24	19, 23	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( F " x ) /\ r e. ( F " x ) ) -> E. b E. a ( ( b e. x /\ a e. x ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) )
25	5	neeq1i 2858	. . . . . . . . . . 11 |- ( H =/= (/) <-> { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } =/= (/) )
26	25	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. x H =/= (/) <-> A. y e. x { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } =/= (/) )
27		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> ( F " y ) = ( F " b ) )
28	27	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( A. g e. ( F " y ) g R z <-> A. g e. ( F " b ) g R z ) )
29	28	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } = { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } )
30	29	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } =/= (/) <-> { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) ) )
31	30	rspccv 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. x { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } =/= (/) -> ( b e. x -> { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) ) )
32		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( F " y ) = ( F " a ) )
33	32	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( A. g e. ( F " y ) g R z <-> A. g e. ( F " a ) g R z ) )
34	33	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } = { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } )
35	34	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = a -> ( { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } =/= (/) <-> { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) )
36	35	rspccv 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. x { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } =/= (/) -> ( a e. x -> { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) )
37	31, 36	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. x { z e. A | A. g e. ( F " y ) g R z } =/= (/) -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) )
38	26, 37	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x H =/= (/) -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) )
39		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ b e. x ) -> b e. On )
40		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ a e. x ) -> a e. On )
41	39, 40	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ ( b e. x /\ a e. x ) ) -> ( b e. On /\ a e. On ) )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( b e. On /\ a e. On ) ) )
43		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. On -> Ord b )
44		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. On -> Ord a )
45		ordtri3or 5755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord b /\ Ord a ) -> ( b e. a \/ b = a \/ a e. b ) )
46	43, 44, 45	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. On /\ a e. On ) -> ( b e. a \/ b = a \/ a e. b ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } = { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z }
48	2, 3, 47	zorn2lem2 9319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a e. On /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( b e. a -> ( F ` b ) R ( F ` a ) ) )
49	48	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( b e. a -> ( F ` b ) R ( F ` a ) ) )
50		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( ( F ` b ) R ( F ` a ) <-> s R r ) )
51	50	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` b ) R ( F ` a ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> s R r ) )
52	49, 51	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( b e. a -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> s R r ) ) )
53	52	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( b e. a -> s R r ) ) )
54	53	adantrrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( b e. a -> s R r ) ) )
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) -> ( b e. a -> s R r ) )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = a -> ( F ` b ) = ( F ` a ) )
57		eqeq12 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( ( F ` b ) = ( F ` a ) <-> s = r ) )
58	56, 57	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( b = a -> s = r ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) -> ( b = a -> s = r ) )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } = { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z }
61	2, 3, 60	zorn2lem2 9319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b e. On /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( a e. b -> ( F ` a ) R ( F ` b ) ) )
62	61	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( a e. b -> ( F ` a ) R ( F ` b ) ) )
63		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( F ` a ) = r /\ ( F ` b ) = s ) -> ( ( F ` a ) R ( F ` b ) <-> r R s ) )
64	63	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( ( F ` a ) R ( F ` b ) <-> r R s ) )
65	64	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` a ) R ( F ` b ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> r R s ) )
66	62, 65	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( a e. b -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> r R s ) ) )
67	66	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( a e. b -> r R s ) ) )
68	67	adantrrr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( a e. b -> r R s ) ) )
69	68	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) -> ( a e. b -> r R s ) )
70	55, 59, 69	3orim123d 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) -> ( ( b e. a \/ b = a \/ a e. b ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) )
71	46, 70	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( b e. On /\ a e. On ) /\ ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) -> ( ( b e. On /\ a e. On ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) )
72	71	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. On /\ a e. On ) -> ( ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( ( b e. On /\ a e. On ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) )
73	72	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. On /\ a e. On ) -> ( ( b e. On /\ a e. On ) -> ( ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) )
74	42, 42, 73	syl6c 70	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( ( w We A /\ ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) )
75	74	exp4a 633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( w We A -> ( ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) ) )
76	75	com3r 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( w We A -> ( x e. On -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) ) )
77	76	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w We A /\ x e. On ) -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) )
78	77	a2d 29	. . . . . . . . 9 |- ( ( w We A /\ x e. On ) -> ( ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( { z e. A | A. g e. ( F " b ) g R z } =/= (/) /\ { z e. A | A. g e. ( F " a ) g R z } =/= (/) ) ) -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) )
79	38, 78	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( w We A /\ x e. On ) -> ( A. y e. x H =/= (/) -> ( ( b e. x /\ a e. x ) -> ( ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) ) )
80	79	imp4b 613	. . . . . . 7 |- ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> ( ( ( b e. x /\ a e. x ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) )
81	80	exlimdvv 1862	. . . . . 6 |- ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> ( E. b E. a ( ( b e. x /\ a e. x ) /\ ( ( F ` b ) = s /\ ( F ` a ) = r ) ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) )
82	24, 81	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> ( ( s e. ( F " x ) /\ r e. ( F " x ) ) -> ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) )
83	82	ralrimivv 2970	. . . 4 |- ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> A. s e. ( F " x ) A. r e. ( F " x ) ( s R r \/ s = r \/ r R s ) )
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( R Po A -> ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> A. s e. ( F " x ) A. r e. ( F " x ) ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) )
85	7, 84	jcad 555	. 2 |- ( R Po A -> ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> ( R Po ( F " x ) /\ A. s e. ( F " x ) A. r e. ( F " x ) ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) ) )
86		df-so 5036	. 2 |- ( R Or ( F " x ) <-> ( R Po ( F " x ) /\ A. s e. ( F " x ) A. r e. ( F " x ) ( s R r \/ s = r \/ r R s ) ) )
87	85, 86	syl6ibr 242	1 |- ( R Po A -> ( ( ( w We A /\ x e. On ) /\ A. y e. x H =/= (/) ) -> R Or ( F " x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Po wpo 5033   Or wor 5034   We wwe 5072   ran crn 5115   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   iota_crio 6610  recscrecs 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468

This theorem is referenced by:  zorn2lem7  9324