Theorem 01eq0ring 19272

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		hashv01gt1 13133	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))
6		hasheq0 13154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
8		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
9		eqneqall 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
10	8, 9	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
11	7, 10	syl5bi 232	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((#‘𝐵) = 0 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
12		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	1, 12	ring0cl 18569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
14	11, 13	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
15		eqneqall 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
16	15	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
17		0ring01eq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	1, 17, 12	ring1ne0 18591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )
19	18	necomd 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 0 ≠ 1 )
20	19	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 0 ≠ 1 ))
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 0 ≠ 1 )))
22	21	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (1 < (#‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
23	14, 16, 22	3jaoi 1391	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
24	5, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
25	24	necon4d 2818	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (#‘𝐵) = 1))
26	25	imp 445	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (#‘𝐵) = 1)
27	1, 12	0ring 19270	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
28	26, 27	syldan 487	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937   < clt 10074  #chash 13117  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  1_rcur 18501  Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  19273  ldepspr  42262