Theorem hashv01gt1 13133

Description: The size of a set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))

Proof of Theorem hashv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 13130	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞))
2		elnn0 11294	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((#‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (#‘𝑀) = 0))
3		exmidne 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑀) = 1 ∨ (#‘𝑀) ≠ 1)
4		nngt1ne1 11047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → (1 < (#‘𝑀) ↔ (#‘𝑀) ≠ 1))
5	4	orbi2d 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → (((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)) ↔ ((#‘𝑀) = 1 ∨ (#‘𝑀) ≠ 1)))
6	3, 5	mpbiri 248	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → ((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
7	6	olcd 408	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → ((#‘𝑀) = 0 ∨ ((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀))))
8		3orass 1040	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)) ↔ ((#‘𝑀) = 0 ∨ ((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀))))
9	7, 8	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
10		3mix1 1230	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) = 0 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
11	9, 10	jaoi 394	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (#‘𝑀) = 0) → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
12	2, 11	sylbi 207	. . 3 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
13		1re 10039	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		ltpnf 11954	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
16		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) = +∞ → (1 < (#‘𝑀) ↔ 1 < +∞))
17	15, 16	mpbiri 248	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑀) = +∞ → 1 < (#‘𝑀))
18	17	3mix3d 1238	. . 3 ⊢ ((#‘𝑀) = +∞ → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
19	12, 18	jaoi 394	. 2 ⊢ (((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞) → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∨ w3o 1036   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071   < clt 10074  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  13263  01eq0ring  19272  tgldimor  25397  frgrwopreg  27187