Theorem 2zrngamgm 41939

Description: R is an (additive) magma. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamgm	⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngamgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
9	8	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑦)))
10	9	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))
11		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
12	11	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
15		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → (2 · 𝑧) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) ∧ 𝑧 = (𝑦 + 𝑥)) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
22		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
23	18, 21, 22	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧))
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑎 = (2 · 𝑦))
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 = (2 · 𝑥))
26	24, 25	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
28		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
29		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
35	28, 31, 34	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
37	27, 36	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
38	37	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
40	23, 39	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
42	41	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
43	42	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
45		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
47	46	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
48	44, 47	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
49	48	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥))
50		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
51	50	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
52	51, 3	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
53	13, 49, 52	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
54	53	exp32 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
55	54	impancom 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
56	55	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
57	10, 56	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
58	57	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
59	58	imp 445	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
60	4, 7, 59	syl2anb 496	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
61	60	rgen2a 2977	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸
62		0z 11388	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
63		2cn 11091	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
64		0zd 11389	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
65		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
66	65	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
67	66	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
68		mul01 10215	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
69	68	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
70	64, 67, 69	rspcedvd 3317	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
71	63, 70	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
72		eqeq1 2626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
73	72	rexbidv 3052	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
74	73	elrab 3363	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
75	62, 71, 74	mpbir2an 955	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
76	75, 3	eleqtrri 2700	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
77		2zrngbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
78	3, 77	2zrngbas 41936	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
79	3, 77	2zrngadd 41937	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
80	78, 79	ismgmn0 17244	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
81	76, 80	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
82	61, 81	mpbir 221	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  ℤcz 11377   ↾_s cress 15858  Mgmcmgm 17240  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-mgm 17242  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  2zrngasgrp  41940