Theorem 2zrngamgm 41939

Description: R is an (additive) magma. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	|- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
2zrngbas.r	|- R = (ℂfld ↾s E )

Assertion

Ref	Expression
2zrngamgm	|- R e. Mgm

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   R( x, z)   E( x, z)

Proof of Theorem 2zrngamgm

Dummy variables a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( z = ( 2 x. x ) <-> a = ( 2 x. x ) ) )
2	1	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( z = a -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ a = ( 2 x. x ) ) )
3		2zrng.e	. . . . 5 |- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
4	2, 3	elrab2 3366	. . . 4 |- ( a e. E <-> ( a e. ZZ /\ E. x e. ZZ a = ( 2 x. x ) ) )
5		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( z = b -> ( z = ( 2 x. x ) <-> b = ( 2 x. x ) ) )
6	5	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( z = b -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) ) )
7	6, 3	elrab2 3366	. . . 4 |- ( b e. E <-> ( b e. ZZ /\ E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) ) )
8		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
9	8	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( a = ( 2 x. x ) <-> a = ( 2 x. y ) ) )
10	9	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. x e. ZZ a = ( 2 x. x ) <-> E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) )
11		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + b ) e. ZZ )
12	11	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> ( a + b ) e. ZZ )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) /\ ( E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) /\ E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) ) ) -> ( a + b ) e. ZZ )
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) -> y e. ZZ )
15		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) -> x e. ZZ )
16		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y + x ) e. ZZ )
17	14, 15, 16	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) -> ( y + x ) e. ZZ )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> ( y + x ) e. ZZ )
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( y + x ) -> ( 2 x. z ) = ( 2 x. ( y + x ) ) )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( y + x ) -> ( ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. z ) <-> ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. ( y + x ) ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) /\ z = ( y + x ) ) -> ( ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. z ) <-> ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. ( y + x ) ) ) )
22		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. ( y + x ) ) )
23	18, 21, 22	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> E. z e. ZZ ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. z ) )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) -> a = ( 2 x. y ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) -> b = ( 2 x. x ) )
26	24, 25	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) -> ( a + b ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. x ) ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> ( a + b ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. x ) ) )
28		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) -> 2 e. CC )
29		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) -> y e. CC )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) -> y e. CC )
32		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) -> x e. CC )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) -> x e. CC )
35	28, 31, 34	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) -> ( 2 x. ( y + x ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. x ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> ( 2 x. ( y + x ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. x ) ) )
37	27, 36	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> ( a + b ) = ( 2 x. ( y + x ) ) )
38	37	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> ( ( a + b ) = ( 2 x. z ) <-> ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. z ) ) )
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> ( E. z e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. z ) <-> E. z e. ZZ ( 2 x. ( y + x ) ) = ( 2 x. z ) ) )
40	23, 39	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) /\ ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) ) -> E. z e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. z ) )
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) /\ ( y e. ZZ /\ a = ( 2 x. y ) ) ) -> ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> E. z e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. z ) ) )
42	41	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ b = ( 2 x. x ) ) -> ( E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) -> ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> E. z e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. z ) ) ) )
43	42	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) -> ( E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) -> ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> E. z e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. z ) ) ) )
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) /\ E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) ) -> ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> E. z e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. z ) ) )
45		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. z ) )
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( a + b ) = ( 2 x. x ) <-> ( a + b ) = ( 2 x. z ) ) )
47	46	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. x ) <-> E. z e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. z ) )
48	44, 47	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) /\ E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) ) -> ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> E. x e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. x ) ) )
49	48	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) /\ ( E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) /\ E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. x ) )
50		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a + b ) -> ( z = ( 2 x. x ) <-> ( a + b ) = ( 2 x. x ) ) )
51	50	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( a + b ) -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. x ) ) )
52	51, 3	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a + b ) e. E <-> ( ( a + b ) e. ZZ /\ E. x e. ZZ ( a + b ) = ( 2 x. x ) ) )
53	13, 49, 52	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) /\ ( E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) /\ E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) ) ) -> ( a + b ) e. E )
54	53	exp32 631	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> ( E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) -> ( E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) -> ( a + b ) e. E ) ) )
55	54	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ /\ E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) ) -> ( a e. ZZ -> ( E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) -> ( a + b ) e. E ) ) )
56	55	com13 88	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ZZ a = ( 2 x. y ) -> ( a e. ZZ -> ( ( b e. ZZ /\ E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) ) -> ( a + b ) e. E ) ) )
57	10, 56	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( E. x e. ZZ a = ( 2 x. x ) -> ( a e. ZZ -> ( ( b e. ZZ /\ E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) ) -> ( a + b ) e. E ) ) )
58	57	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( a e. ZZ /\ E. x e. ZZ a = ( 2 x. x ) ) -> ( ( b e. ZZ /\ E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) ) -> ( a + b ) e. E ) )
59	58	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( a e. ZZ /\ E. x e. ZZ a = ( 2 x. x ) ) /\ ( b e. ZZ /\ E. x e. ZZ b = ( 2 x. x ) ) ) -> ( a + b ) e. E )
60	4, 7, 59	syl2anb 496	. . 3 |- ( ( a e. E /\ b e. E ) -> ( a + b ) e. E )
61	60	rgen2a 2977	. 2 |- A. a e. E A. b e. E ( a + b ) e. E
62		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
63		2cn 11091	. . . . . 6 |- 2 e. CC
64		0zd 11389	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC -> 0 e. ZZ )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
66	65	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 0 = ( 2 x. x ) <-> 0 = ( 2 x. 0 ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ x = 0 ) -> ( 0 = ( 2 x. x ) <-> 0 = ( 2 x. 0 ) ) )
68		mul01 10215	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. CC -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
69	68	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC -> 0 = ( 2 x. 0 ) )
70	64, 67, 69	rspcedvd 3317	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC -> E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x ) )
71	63, 70	ax-mp 5	. . . . 5 |- E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x )
72		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( z = 0 -> ( z = ( 2 x. x ) <-> 0 = ( 2 x. x ) ) )
73	72	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x ) ) )
74	73	elrab 3363	. . . . 5 |- ( 0 e. { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) } <-> ( 0 e. ZZ /\ E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x ) ) )
75	62, 71, 74	mpbir2an 955	. . . 4 |- 0 e. { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
76	75, 3	eleqtrri 2700	. . 3 |- 0 e. E
77		2zrngbas.r	. . . . 5 |- R = (ℂfld ↾s E )
78	3, 77	2zrngbas 41936	. . . 4 |- E = ( Base ` R )
79	3, 77	2zrngadd 41937	. . . 4 |- + = ( +g ` R )
80	78, 79	ismgmn0 17244	. . 3 |- ( 0 e. E -> ( R e. Mgm <-> A. a e. E A. b e. E ( a + b ) e. E ) )
81	76, 80	ax-mp 5	. 2 |- ( R e. Mgm <-> A. a e. E A. b e. E ( a + b ) e. E )
82	61, 81	mpbir 221	1 |- R e. Mgm

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   ZZcz 11377   ↾_s cress 15858  Mgmcmgm 17240  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-mgm 17242  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  2zrngasgrp  41940