Theorem ballotlemfelz 30552

Description: (𝐹‘𝐶) has values in ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotlemfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfelz	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotlemfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		ballotlemfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 30551	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) = ((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
9		fzfi 12771	. . . . . 6 ⊢ (1...𝐽) ∈ Fin
10		inss1 3833	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
11		ssfi 8180	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin
13		hashcl 13147	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 11402	. . 3 ⊢ (#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ
16		difss 3737	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
17		ssfi 8180	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
18	9, 16, 17	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin
19		hashcl 13147	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
21	20	nn0zi 11402	. . 3 ⊢ (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ
22		zsubcl 11419	. . 3 ⊢ (((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ ∧ (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ) → ((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ)
23	15, 21, 22	mp2an 708	. 2 ⊢ ((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ
24	8, 23	syl6eqel 2709	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlemodife  30559  ballotlemic  30568  ballotlem1c  30569  ballotlemfrceq  30590  ballotlemfrcn0  30591