Theorem basellem7 24813

Description: Lemma for basel 24816. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
basellem7	⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11408	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 9994	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1	eqimss2i 3660	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
5		nnex 11026	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	climconst2 14279	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
7	3, 2, 6	sylancr 695	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8		ovexd 6680	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ V)
9		basellem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	4, 5	climconst2 14279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
11	9, 2, 10	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12		ovexd 6680	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
13		basel.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
14	13	basellem6 24812	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
16	9	elexi 3213	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
17	16	fconst 6091	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
18	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4340	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20		fss 6056	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
21	17, 19, 20	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
27	26	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
28	27	nnrecred 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
30	29, 13	fmptd 6385	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
33	21, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
34		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℕ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℕ)
35	30, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
36	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
37		inidm 3822	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
38		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
39		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40	33, 35, 36, 36, 37, 38, 39	ofval 6906	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
41	1, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 40	climmul 14363	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
42	9	mul01i 10226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
43	41, 42	syl6breq 4694	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
44		1ex 10035	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
45	44	fconst 6091	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
46	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
47	46	snssd 4340	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
48		fss 6056	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
49	45, 47, 48	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
50	49	ffvelrnda 6359	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
51		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
52	51	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
53	52, 21, 30, 36, 36, 37	off 6912	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
54	53	ffvelrnda 6359	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
55	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
56		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
58		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
59	53, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
60		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
61		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
62	57, 59, 36, 36, 37, 60, 61	ofval 6906	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
63	1, 2, 7, 8, 43, 50, 54, 62	climadd 14362	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
64	63	trud 1493	. 2 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
65		1p0e1 11133	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	breqtri 4678	1 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687   ⇝ cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  basellem9  24815