Theorem basellem7 24813

Description: Lemma for basel 24816. The function 1 + A x. G for any fixed A goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	|- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
basellem7.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
basellem7	|- ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ) ~~> 1

Proof of Theorem basellem7

Dummy variables k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		ax-1cn 9994	. . . . 5 |- 1 e. CC
4	1	eqimss2i 3660	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ NN
5		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
6	4, 5	climconst2 14279	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( NN X. { 1 } ) ~~> 1 )
7	3, 2, 6	sylancr 695	. . . 4 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) ~~> 1 )
8		ovexd 6680	. . . 4 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ) e. _V )
9		basellem7.2	. . . . . . 7 |- A e. CC
10	4, 5	climconst2 14279	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( NN X. { A } ) ~~> A )
11	9, 2, 10	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( T. -> ( NN X. { A } ) ~~> A )
12		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) e. _V )
13		basel.g	. . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
14	13	basellem6 24812	. . . . . . 7 |- G ~~> 0
15	14	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> G ~~> 0 )
16	9	elexi 3213	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
17	16	fconst 6091	. . . . . . . 8 |- ( NN X. { A } ) : NN --> { A }
18	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> A e. CC )
19	18	snssd 4340	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { A } C_ CC )
20		fss 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( NN X. { A } ) : NN --> { A } /\ { A } C_ CC ) -> ( NN X. { A } ) : NN --> CC )
21	17, 19, 20	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( NN X. { A } ) : NN --> CC )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` k ) e. CC )
23		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 2 e. NN )
25		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) e. NN )
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) e. NN )
27	26	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN )
28	27	nnrecred 11066	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. CC )
30	29, 13	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( T. -> G : NN --> CC )
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
32		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( NN X. { A } ) : NN --> CC -> ( NN X. { A } ) Fn NN )
33	21, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( NN X. { A } ) Fn NN )
34		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( G : NN --> CC -> G Fn NN )
35	30, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( T. -> G Fn NN )
36	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> NN e. _V )
37		inidm 3822	. . . . . . 7 |- ( NN i^i NN ) = NN
38		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` k ) = ( ( NN X. { A } ) ` k ) )
39		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
40	33, 35, 36, 36, 37, 38, 39	ofval 6906	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ` k ) = ( ( ( NN X. { A } ) ` k ) x. ( G ` k ) ) )
41	1, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 40	climmul 14363	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ~~> ( A x. 0 ) )
42	9	mul01i 10226	. . . . 5 |- ( A x. 0 ) = 0
43	41, 42	syl6breq 4694	. . . 4 |- ( T. -> ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ~~> 0 )
44		1ex 10035	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
45	44	fconst 6091	. . . . . 6 |- ( NN X. { 1 } ) : NN --> { 1 }
46	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. CC )
47	46	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( T. -> { 1 } C_ CC )
48		fss 6056	. . . . . 6 |- ( ( ( NN X. { 1 } ) : NN --> { 1 } /\ { 1 } C_ CC ) -> ( NN X. { 1 } ) : NN --> CC )
49	45, 47, 48	sylancr 695	. . . . 5 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) : NN --> CC )
50	49	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
51		mulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
52	51	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
53	52, 21, 30, 36, 36, 37	off 6912	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) : NN --> CC )
54	53	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ` k ) e. CC )
55	45	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) : NN --> { 1 } )
56		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( ( NN X. { 1 } ) : NN --> { 1 } -> ( NN X. { 1 } ) Fn NN )
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) Fn NN )
58		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) : NN --> CC -> ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) Fn NN )
59	53, 58	syl 17	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) Fn NN )
60		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` k ) = ( ( NN X. { 1 } ) ` k ) )
61		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ` k ) = ( ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ` k ) )
62	57, 59, 36, 36, 37, 60, 61	ofval 6906	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ) ` k ) = ( ( ( NN X. { 1 } ) ` k ) + ( ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ` k ) ) )
63	1, 2, 7, 8, 43, 50, 54, 62	climadd 14362	. . 3 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ) ~~> ( 1 + 0 ) )
64	63	trud 1493	. 2 |- ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ) ~~> ( 1 + 0 )
65		1p0e1 11133	. 2 |- ( 1 + 0 ) = 1
66	64, 65	breqtri 4678	1 |- ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { A } ) oF x. G ) ) ~~> 1

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  basellem9  24815