Theorem basellem9 24815

Description: Lemma for basel 24816. Since by basellem8 24814 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 14371. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f	⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h	⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
basel.j	⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k	⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
basellem9	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11408	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑-2) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6282	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8		nnre 11027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nnne0 11053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		znegcl 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	reexpclzd 13034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
16	15, 4	fmptd 6385	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrrd 2702	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10068	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
20	1, 2, 17	serfre 12830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21		basel.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
22	21	feq1i 6036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
23	20, 22	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
26		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ V
29	28	fconst 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	resqcli 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π↑2) ∈ ℝ
32		6re 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℝ
33		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
34	33	nnne0i 11055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ≠ 0
35	31, 32, 34	redivcli 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
37	36	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
39	29, 37, 38	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
42		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
45	44	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
47	43, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
51	49, 50	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
52	51	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	52	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54		basel.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
55	53, 54	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
58		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
59	41, 47, 55, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺):ℕ⟶ℝ)
60	27, 39, 59, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61		basel.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
62	61	feq1i 6036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
63	60, 62	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -2 ∈ V
67	66	fconst 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
68	12	zrei 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -2 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℝ)
70	69	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
72	67, 70, 71	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
73	27, 72, 55, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
74	65, 47, 73, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
75	27, 63, 74, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76		basel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
77	76	feq1i 6036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
78	75, 77	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
79	78	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℝ)
80	79	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℂ)
81	25, 80	npcand 10396	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
82	81	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
83		ovexd 6680	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) ∈ V)
84	23	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
85	78	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽‘𝑛)))
86	57, 24, 79, 84, 85	offval2 6914	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛))))
87	57, 83, 79, 86, 85	offval2 6914	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))))
88	82, 87, 84	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = 𝐹)
89	65, 47, 55, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93		subdi 10463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	90, 91, 92, 93	syl3an 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
96	57, 63, 89, 74, 95	caofdi 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = ((𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))))
97		basel.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
98	97, 76	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽) = ((𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))
99	96, 98	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽))
100	35	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
101	1	eqimss2i 3660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
102	101, 56	climconst2 14279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103	100, 2, 102	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)) ∈ V)
105		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
106		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
107	47, 105, 106	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
109	55, 105, 108	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110		ofnegsub 11018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
111	57, 107, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
112		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
113	54, 112	basellem7 24813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
114	111, 113	syl6eqbrr 4693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺) ⇝ 1)
115	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116	115	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
117	59	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118	117	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
119		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120	39, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
121		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
122	2, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
123		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:ℕ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℕ)
124	55, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
125	122, 124, 57, 57, 58	offn 6908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺) Fn ℕ)
126		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
127		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘))
128	120, 125, 57, 57, 58, 126, 127	ofval 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘)))
129	1, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 128	climmul 14363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
130	100	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
131	129, 130	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
132	61, 131	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
133		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ∈ V)
134		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
135	101, 56	climconst2 14279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
136	134, 2, 135	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
137		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
138	54	basellem6 24812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
140		3ex 11096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
141	140	fconst 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
142		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
144	143	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
145		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
146	141, 144, 145	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
147	146	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
148	147	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
149	55	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
150	149	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
151		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
152	146, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
153		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
154		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
155	152, 124, 57, 57, 58, 153, 154	ofval 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
156	1, 2, 136, 137, 139, 148, 150, 155	climmul 14363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
157	134	mul01i 10226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 0) = 0
158	156, 157	syl6breq 4694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
159	63	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
160	159	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
161	27, 146, 55, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
162	161	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
163	162	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
164		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻:ℕ⟶ℝ → 𝐻 Fn ℕ)
165	63, 164	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
166	41, 89, 74, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
167		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
169		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
170	150	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
171		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
172		mulneg1 10466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
173	171, 150, 172	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
174	173	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺‘𝑘)) = --(2 · (𝐺‘𝑘)))
175		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
176	171, 150, 175	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
177	176	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺‘𝑘)) = (2 · (𝐺‘𝑘)))
178	174, 177	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) = -(-2 · (𝐺‘𝑘)))
179	170, 178	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))))
180		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
181	68, 149, 180	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
182	181	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
183	150, 182	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
184	179, 183	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
185		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
186		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
187	171, 186	addcomi 10227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
188	185, 187	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (1 + 2)
189	188	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘))
190		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
191	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
192	190, 191, 150	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
193	189, 192	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
194	190, 150, 182	pnpcand 10429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
195	184, 193, 194	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
196	122, 124, 57, 57, 58	offn 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) Fn ℕ)
197	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℤ)
198		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
200	199, 124, 57, 57, 58	offn 6908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
201	122, 200, 57, 57, 58	offn 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ)
202	57, 44, 124, 154	ofc1 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺‘𝑘)))
203	57, 69, 124, 154	ofc1 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺‘𝑘)))
204	57, 44, 200, 203	ofc1 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘))))
205	196, 201, 57, 57, 58, 202, 204	ofval 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))))
206	57, 143, 124, 154	ofc1 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
207	195, 205, 206	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
208	165, 168, 57, 57, 58, 169, 207	ofval 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
209	1, 2, 132, 133, 158, 160, 163, 208	climmul 14363	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
210	100	mul01i 10226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π↑2) / 6) · 0) = 0
211	209, 210	syl6breq 4694	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ 0)
212	99, 211	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽) ⇝ 0)
213		ovexd 6680	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∈ V)
214	27, 63, 89, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
215	97	feq1i 6036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
216	214, 215	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
217	41, 216, 78, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
218	217	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
219	41, 23, 78, 57, 57, 58	off 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
220	219	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
221	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
222	216	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) ∈ ℝ)
223	78	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
224		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
225	54, 21, 61, 76, 97, 224	basellem8 24814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
226	225	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
227	226	simprd 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘))
228	221, 222, 223, 227	lesub1dd 10643	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ≤ ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
229		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
230	23, 229	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
231		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽:ℕ⟶ℝ → 𝐽 Fn ℕ)
232	78, 231	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
233		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
234		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (𝐽‘𝑘))
235	230, 232, 57, 57, 58, 233, 234	ofval 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
236		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾:ℕ⟶ℝ → 𝐾 Fn ℕ)
237	216, 236	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
238		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) = (𝐾‘𝑘))
239	237, 232, 57, 57, 58, 238, 234	ofval 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
240	228, 235, 239	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘))
241	226	simpld 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
242	221, 223	subge0d 10617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ↔ (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
243	241, 242	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
244	243, 235	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘))
245	1, 2, 212, 213, 218, 220, 240, 244	climsqz2 14372	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ⇝ 0)
246		ovexd 6680	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ∈ V)
247		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ V)
248	68	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -2 ∈ ℂ
249	54, 248	basellem7 24813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
250	249	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1)
251	74	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
252	251	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
253		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘))
254	165, 201, 57, 57, 58, 169, 253	ofval 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘)))
255	1, 2, 132, 247, 250, 160, 252, 254	climmul 14363	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
256	255, 130	syl6breq 4694	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
257	76, 256	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
258	220	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
259	223	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
260		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽):ℕ⟶ℝ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) Fn ℕ)
261	219, 260	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) Fn ℕ)
262		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘))
263	261, 232, 57, 57, 58, 262, 234	ofval 6906	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
264	1, 2, 245, 246, 257, 258, 259, 263	climadd 14362	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
265	88, 264	eqbrtrrd 4677	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
266	100	addid2i 10224	. . . 4 ⊢ (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
267	265, 21, 266	3brtr3g 4686	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
268	1, 2, 7, 19, 267	isumclim 14488	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
269	268	trud 1493	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  6c6 11074  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  seqcseq 12801  ↑cexp 12860   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416  πcpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  basel  24816