Proof of Theorem blcvx
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr3 1069 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1)) |
2 | | 0re 10040 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ |
3 | | 1re 10039 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℝ |
4 | 2, 3 | elicc2i 12239 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1)) |
5 | 1, 4 | sylib 208 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1)) |
6 | 5 | simp1d 1073 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
7 | 6 | recnd 10068 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ) |
8 | | simpr1 1067 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ 𝑆) |
9 | | blcvx.s |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) |
10 | 8, 9 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
11 | | cnxmet 22576 |
. . . . . . . . 9
⊢ (abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs ∘
− ) ∈ (∞Met‘ℂ)) |
13 | | simpll 790 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑃 ∈ ℂ) |
14 | | simplr 792 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ∈
ℝ*) |
15 | | elbl 22193 |
. . . . . . . 8
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅))) |
16 | 12, 13, 14, 15 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅))) |
17 | 10, 16 | mpbid 222 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)) |
18 | 17 | simpld 475 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
19 | 7, 18 | mulcld 10060 |
. . . 4
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ) |
20 | | resubcl 10345 |
. . . . . . 7
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑇
∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ) |
21 | 3, 6, 20 | sylancr 695 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈
ℝ) |
22 | 21 | recnd 10068 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈
ℂ) |
23 | | simpr2 1068 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ 𝑆) |
24 | 23, 9 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
25 | | elbl 22193 |
. . . . . . . 8
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅))) |
26 | 12, 13, 14, 25 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅))) |
27 | 24, 26 | mpbid 222 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)) |
28 | 27 | simpld 475 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
29 | 22, 28 | mulcld 10060 |
. . . 4
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ) |
30 | 19, 29 | addcld 10059 |
. . 3
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ) |
31 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
⊢ (abs
∘ − ) = (abs ∘ − ) |
32 | 31 | cnmetdval 22574 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))) |
33 | 13, 30, 32 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))) |
34 | 7, 13, 18 | subdid 10486 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴))) |
35 | 22, 13, 28 | subdid 10486 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))) |
36 | 34, 35 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵)))) |
37 | 7, 13 | mulcld 10060 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑃) ∈ ℂ) |
38 | 22, 13 | mulcld 10060 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑃) ∈ ℂ) |
39 | 37, 38, 19, 29 | addsub4d 10439 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵)))) |
40 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℂ |
41 | | pncan3 10289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑇 + (1
− 𝑇)) =
1) |
42 | 7, 40, 41 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1) |
43 | 42 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = (1 · 𝑃)) |
44 | 7, 22, 13 | adddird 10065 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃))) |
45 | | mulid2 10038 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (1
· 𝑃) = 𝑃) |
46 | 45 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑃) = 𝑃) |
47 | 43, 44, 46 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) = 𝑃) |
48 | 47 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))) |
49 | 36, 39, 48 | 3eqtr2d 2662 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))) |
50 | 49 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))) |
51 | 33, 50 | eqtr4d 2659 |
. . . 4
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))))) |
52 | 13, 18 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃 − 𝐴) ∈ ℂ) |
53 | 7, 52 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
54 | 13, 28 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃 − 𝐵) ∈ ℂ) |
55 | 22, 54 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
56 | 53, 55 | addcld 10059 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℂ) |
57 | 56 | abscld 14175 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ) |
58 | 57 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ) |
59 | 53 | abscld 14175 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) ∈ ℝ) |
60 | 55 | abscld 14175 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1
− 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℝ) |
61 | 59, 60 | readdcld 10069 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ) |
62 | 61 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ) |
63 | | simpr 477 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ) |
64 | 53, 55 | abstrid 14195 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))))) |
65 | 64 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))))) |
66 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) = (0 · (𝑃 − 𝐴))) |
67 | 52 | mul02d 10234 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝑃 − 𝐴)) = 0) |
68 | 66, 67 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) = 0) |
69 | 68 | abs00bd 14031 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = 0) |
70 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 −
0)) |
71 | | 1m0e1 11131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (1
− 0) = 1 |
72 | 70, 71 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1) |
73 | 72 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) = (1 · (𝑃 − 𝐵))) |
74 | 54 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝑃 − 𝐵)) = (𝑃 − 𝐵)) |
75 | 73, 74 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) = (𝑃 − 𝐵)) |
76 | 75 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − 𝐵))) |
77 | 69, 76 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) = (0 + (abs‘(𝑃 − 𝐵)))) |
78 | 54 | abscld 14175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
79 | 78 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
80 | 79 | addid2d 10237 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 +
(abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − 𝐵))) |
81 | 31 | cnmetdval 22574 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃 − 𝐵))) |
82 | 13, 28, 81 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃 − 𝐵))) |
83 | 80, 82 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 +
(abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (𝑃(abs ∘ − )𝐵)) |
84 | 27 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅) |
85 | 83, 84 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 +
(abs‘(𝑃 − 𝐵))) < 𝑅) |
86 | 85 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (0 + (abs‘(𝑃 − 𝐵))) < 𝑅) |
87 | 77, 86 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅) |
88 | 87 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅) |
89 | 7, 52 | absmuld 14193 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐴)))) |
90 | 5 | simp2d 1074 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑇) |
91 | 6, 90 | absidd 14161 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘𝑇) = 𝑇) |
92 | 91 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴)))) |
93 | 89, 92 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴)))) |
94 | 93 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴)))) |
95 | 31 | cnmetdval 22574 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃 − 𝐴))) |
96 | 13, 18, 95 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃 − 𝐴))) |
97 | 17 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅) |
98 | 96, 97 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) < 𝑅) |
99 | 98 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) < 𝑅) |
100 | 52 | abscld 14175 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
101 | 100 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
102 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ) |
103 | 6 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℝ) |
104 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈
ℝ) |
105 | 104, 6, 90 | leltned 10190 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 < 𝑇 ↔ 𝑇 ≠ 0)) |
106 | 105 | biimpar 502 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇) |
107 | 106 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇) |
108 | | ltmul2 10874 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((abs‘(𝑃
− 𝐴)) ∈ ℝ
∧ 𝑅 ∈ ℝ
∧ (𝑇 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑇)) →
((abs‘(𝑃 −
𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))) |
109 | 101, 102,
103, 107, 108 | syl112anc 1330 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))) |
110 | 99, 109 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)) |
111 | 94, 110 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)) |
112 | 22, 54 | absmuld 14193 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1
− 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵)))) |
113 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 1 ∈
ℝ) |
114 | 5 | simp3d 1075 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ≤ 1) |
115 | 6, 113, 114 | abssubge0d 14170 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(1
− 𝑇)) = (1 −
𝑇)) |
116 | 115 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(1
− 𝑇)) ·
(abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵)))) |
117 | 112, 116 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1
− 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵)))) |
118 | 117 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1
− 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵)))) |
119 | 78 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
120 | | subge0 10541 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑇
∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1)) |
121 | 3, 6, 120 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 ≤ (1 −
𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1)) |
122 | 114, 121 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (1 −
𝑇)) |
123 | 21, 122 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1
− 𝑇))) |
124 | 123 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1
− 𝑇))) |
125 | 82, 84 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) < 𝑅) |
126 | 125 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) < 𝑅) |
127 | | ltle 10126 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((abs‘(𝑃
− 𝐵)) ∈ ℝ
∧ 𝑅 ∈ ℝ)
→ ((abs‘(𝑃
− 𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅)) |
128 | 78, 127 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃 − 𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅)) |
129 | 126, 128 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅) |
130 | | lemul2a 10878 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((abs‘(𝑃
− 𝐵)) ∈ ℝ
∧ 𝑅 ∈ ℝ
∧ ((1 − 𝑇) ∈
ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇))) ∧ (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) |
131 | 119, 63, 124, 129, 130 | syl31anc 1329 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) |
132 | 118, 131 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1
− 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) |
133 | 132 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) |
134 | 59 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) ∈ ℝ) |
135 | 60 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1
− 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℝ) |
136 | | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ) |
137 | 6, 136 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ) |
138 | | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((1
− 𝑇) ∈ ℝ
∧ 𝑅 ∈ ℝ)
→ ((1 − 𝑇)
· 𝑅) ∈
ℝ) |
139 | 21, 138 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ) |
140 | | ltleadd 10511 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((abs‘(𝑇
· (𝑃 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧
(abs‘((1 − 𝑇)
· (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℝ) ∧
((𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((1
− 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)) →
(((abs‘(𝑇 ·
(𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))) |
141 | 134, 135,
137, 139, 140 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))) |
142 | 141 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))) |
143 | 111, 133,
142 | mp2and 715 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))) |
144 | 42 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
145 | 144 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
146 | 7 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ) |
147 | 22 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈
ℂ) |
148 | 63 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ) |
149 | 146, 147,
148 | adddird 10065 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))) |
150 | 148 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 · 𝑅) = 𝑅) |
151 | 145, 149,
150 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅) |
152 | 151 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅) |
153 | 143, 152 | breqtrd 4679 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝑃 ∈
ℂ ∧ 𝑅 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅) |
154 | 88, 153 | pm2.61dane 2881 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅) |
155 | 58, 62, 63, 65, 154 | lelttrd 10195 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅) |
156 | 57 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ) |
157 | | ltpnf 11954 |
. . . . . . 7
⊢
((abs‘((𝑇
· (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ →
(abs‘((𝑇 ·
(𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < +∞) |
158 | 156, 157 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < +∞) |
159 | | simpr 477 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞) |
160 | 158, 159 | breqtrrd 4681 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅) |
161 | | 0xr 10086 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
ℝ* |
162 | 161 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈
ℝ*) |
163 | 100 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) ∈
ℝ*) |
164 | 52 | absge0d 14183 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤
(abs‘(𝑃 − 𝐴))) |
165 | 162, 163,
14, 164, 98 | xrlelttrd 11991 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 < 𝑅) |
166 | | xrltle 11982 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 <
𝑅 → 0 ≤ 𝑅)) |
167 | 161, 14, 166 | sylancr 695 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅)) |
168 | 165, 167 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑅) |
169 | | ge0nemnf 12004 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ*
∧ 0 ≤ 𝑅) →
𝑅 ≠
-∞) |
170 | 14, 168, 169 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ≠ -∞) |
171 | 14, 170 | jca 554 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠
-∞)) |
172 | | xrnemnf 11951 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 ≠ -∞)
↔ (𝑅 ∈ ℝ
∨ 𝑅 =
+∞)) |
173 | 171, 172 | sylib 208 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞)) |
174 | 155, 160,
173 | mpjaodan 827 |
. . . 4
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅) |
175 | 51, 174 | eqbrtrd 4675 |
. . 3
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅) |
176 | | elbl 22193 |
. . . 4
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅))) |
177 | 12, 13, 14, 176 | syl3anc 1326 |
. . 3
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅))) |
178 | 30, 175, 177 | mpbir2and 957 |
. 2
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
179 | 178, 9 | syl6eleqr 2712 |
1
⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆) |