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Theorem blcvx 22601

Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
blcvx.s

**Assertion**
Ref	Expression
blcvx	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem blcvx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1069	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		0re 10040	. . . . . . . . 9
3		1re 10039	. . . . . . . . 9
4	2, 3	elicc2i 12239	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
5	1, 4	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	simp1d 1073	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	recnd 10068	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		simpr1 1067	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		blcvx.s	. . . . . . . 8
10	8, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		cnxmet 22576	. . . . . . . . 9
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simpll 790	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simplr 792	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		elbl 22193	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	10, 16	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	17	simpld 475	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	7, 18	mulcld 10060	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		resubcl 10345	. . . . . . 7 $/\$
21	3, 6, 20	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	recnd 10068	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simpr2 1068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	23, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		elbl 22193	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
26	12, 13, 14, 25	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	24, 26	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	27	simpld 475	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	22, 28	mulcld 10060	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	19, 29	addcld 10059	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		eqid 2622	. . . . . . 7
32	31	cnmetdval 22574	. . . . . 6 $/\$
33	13, 30, 32	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	7, 13, 18	subdid 10486	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	22, 13, 28	subdid 10486	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	34, 35	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	7, 13	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	22, 13	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	37, 38, 19, 29	addsub4d 10439	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
41		pncan3 10289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	7, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	7, 22, 13	adddird 10065	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		mulid2 10038	. . . . . . . . . 10
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	43, 44, 46	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	36, 39, 48	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	33, 50	eqtr4d 2659	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	13, 18	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	7, 52	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	13, 28	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	22, 54	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	53, 55	addcld 10059	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	abscld 14175	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	53	abscld 14175	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	55	abscld 14175	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	59, 60	readdcld 10069	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simpr 477	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	53, 55	abstrid 14195	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
67	52	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 67	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	abs00bd 14031	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
71		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . . . . 14
72	70, 71	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
74	54	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	73, 74	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	69, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	54	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	79	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	31	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	13, 28, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	80, 82	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	27	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	83, 84	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	77, 86	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	7, 52	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	5	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	6, 90	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	89, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	31	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	13, 18, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	17	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	52	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104, 6, 90	leltned 10190	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
109	101, 102, 103, 107, 108	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	99, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	94, 110	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 54	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	5	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	6, 113, 114	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	112, 116	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
121	3, 6, 120	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	114, 121	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	21, 122	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	82, 84	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	78, 127	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	126, 128	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		lemul2a 10878	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	119, 63, 124, 129, 130	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	118, 131	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	59	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	6, 136	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	21, 138	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		ltleadd 10511	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	134, 135, 137, 139, 140	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	111, 133, 142	mp2and 715	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	146, 147, 148	adddird 10065	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	148	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	145, 149, 150	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	151	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	143, 152	breqtrd 4679	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	88, 153	pm2.61dane 2881	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	58, 62, 63, 65, 154	lelttrd 10195	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	57	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		ltpnf 11954	. . . . . . 7
158	156, 157	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159		simpr 477	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	158, 159	breqtrrd 4681	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	100	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	52	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	162, 163, 14, 164, 98	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166		xrltle 11982	. . . . . . . . . 10 $/\$
167	161, 14, 166	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	165, 167	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169		ge0nemnf 12004	. . . . . . . 8 $/\$
170	14, 168, 169	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	14, 170	jca 554	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172		xrnemnf 11951	. . . . . 6 $/\$ $\/$
173	171, 172	sylib 208	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
174	155, 160, 173	mpjaodan 827	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	51, 174	eqbrtrd 4675	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176		elbl 22193	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
177	12, 13, 14, 176	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	30, 175, 177	mpbir2and 957	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178, 9	syl6eleqr 2712	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

ccom 5118

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cicc 12178

cabs 13974

cxmt 19731

cbl 19733

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-icc 12182 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741

This theorem is referenced by: dvlipcn 23757 blsconn 31226

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