Theorem lelttrd 10195

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 10128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 715	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  lt2msq1  10907  suprzcl  11457  ge0p1rp  11862  elfzolt3  12480  flflp1  12608  ltdifltdiv  12635  modsubdir  12739  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  expmulnbnd  12996  discr1  13000  faclbnd5  13085  bcp1nk  13104  hashfun  13224  swrds2  13685  abslt  14054  abs3lem  14078  fzomaxdiflem  14082  icodiamlt  14174  reccn2  14327  o1rlimmul  14349  caucvgrlem  14403  geomulcvg  14607  mertenslem1  14616  bpoly4  14790  ef01bndlem  14914  sin01bnd  14915  cos01bnd  14916  sinltx  14919  eirrlem  14932  rpnnen2lem11  14953  ruclem10  14968  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  bitsinv1lem  15163  smueqlem  15212  pcfaclem  15602  pockthg  15610  prmreclem5  15624  1arith  15631  4sqlem11  15659  4sqlem12  15660  4sqlem13  15661  coe1tmmul2  19646  ssblex  22233  nlmvscnlem2  22489  nlmvscnlem1  22490  nrginvrcnlem  22495  blcvx  22601  icccmplem2  22626  reconnlem2  22630  metdcnlem  22639  icopnfcnv  22741  nmoleub2lem3  22915  ipcnlem2  23043  ipcnlem1  23044  minveclem3b  23199  minveclem3  23200  pjthlem1  23208  pmltpclem2  23218  ivthlem2  23221  ovollb2lem  23256  iundisj  23316  uniioombllem3  23353  opnmbllem  23369  itg2monolem3  23519  itg2cnlem2  23529  dveflem  23742  dvferm2lem  23749  lhop1lem  23776  dvcnvre  23782  ftc1a  23800  ftc1lem4  23802  coeeulem  23980  dgradd2  24024  aaliou2b  24096  ulmdvlem1  24154  itgulm  24162  radcnvlem1  24167  radcnvlt1  24172  radcnvle  24174  psercnlem1  24179  pserdvlem1  24181  pserdv  24183  abelthlem2  24186  abelthlem7  24192  cosordlem  24277  tanord1  24283  efif1olem1  24288  logcnlem3  24390  logcnlem4  24391  efopnlem1  24402  logtayl  24406  cxpcn3lem  24488  birthdaylem3  24680  efrlim  24696  lgamgulmlem2  24756  lgamucov  24764  ftalem1  24799  ftalem2  24800  ftalem5  24803  basellem1  24807  basellem3  24809  perfectlem2  24955  bposlem1  25009  bposlem3  25011  bposlem6  25014  lgsdirprm  25056  lgsqrlem2  25072  lgseisen  25104  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  2sqlem8  25151  2sqblem  25156  dchrvmasumiflem1  25190  pntrmax  25253  pntlemc  25284  pntlemg  25287  pntlemr  25291  axpaschlem  25820  axlowdimlem16  25837  clwwisshclwwslem  26927  smcnlem  27552  minvecolem3  27732  pjhthlem1  28250  nmcexi  28885  iundisjf  29402  iundisjfi  29555  psgnfzto1stlem  29850  dya2icoseg  30339  reprgt  30699  hgt750lem  30729  tgoldbachgtde  30738  subfaclim  31170  bcprod  31624  dnicn  32482  unbdqndv2lem1  32500  unbdqndv2lem2  32501  knoppndvlem18  32520  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem12  33421  poimirlem15  33424  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  opnmbllem0  33445  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ftc1cnnclem  33483  ftc1anclem7  33491  isbnd3  33583  cntotbnd  33595  rrnequiv  33634  irrapxlem1  37386  pell14qrgapw  37440  monotoddzzfi  37507  ltrmynn0  37515  jm2.24nn  37526  acongeq  37550  jm2.26lem3  37568  jm3.1lem2  37585  binomcxplemnotnn0  38555  isosctrlem1ALT  39170  rfcnnnub  39195  zltlesub  39497  monoords  39511  supxrge  39554  infleinflem2  39587  uzubioo  39794  fmul01lt1lem1  39816  fmul01lt1lem2  39817  lptre2pt  39872  addlimc  39880  0ellimcdiv  39881  limclner  39883  climleltrp  39908  limsupubuzlem  39944  limsup10exlem  40004  icccncfext  40100  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnmul  40158  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stoweidlem5  40222  stoweidlem11  40228  stoweidlem13  40230  stoweidlem14  40231  stoweidlem25  40242  stoweidlem26  40243  stoweidlem42  40259  stoweidlem59  40276  stoweid  40280  wallispilem3  40284  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  fourierdlem10  40334  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem15  40339  fourierdlem20  40344  fourierdlem24  40348  fourierdlem30  40354  fourierdlem31  40355  fourierdlem33  40357  fourierdlem40  40364  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem43  40367  fourierdlem44  40368  fourierdlem46  40369  fourierdlem47  40370  fourierdlem48  40371  fourierdlem50  40373  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem73  40396  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem77  40400  fourierdlem78  40401  fourierdlem79  40402  fourierdlem87  40410  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fouriersw  40448  etransclem19  40470  etransclem23  40474  etransclem48  40499  ioorrnopnlem  40524  iundjiun  40677  omeiunltfirp  40733  caratheodorylem1  40740  hoicvr  40762  hoidmv1lelem2  40806  hoidmvlelem2  40810  hoiqssbllem2  40837  vonioolem1  40894  vonicclem1  40897  smflimlem4  40982  smfmullem1  40998  iccpartgt  41363  perfectALTVlem2  41631  bgoldbtbndlem2  41694  pgrple2abl  42146  logbpw2m1  42361  dignn0ldlem  42396