Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 1elunit 12291 |
. . 3
⊢ 1 ∈
(0[,]1) |
2 | | 0elunit 12290 |
. . 3
⊢ 0 ∈
(0[,]1) |
3 | | 0red 10041 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ) |
4 | | 1red 10055 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 1 ∈ ℝ) |
5 | | dvlipcn.d |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) |
6 | | ssid 3624 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
8 | | dvlipcn.f |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ) |
9 | | dvlipcn.x |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ) |
10 | 7, 8, 9 | dvbss 23665 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑋) |
11 | 5, 10 | sstrd 3613 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋) |
12 | 11, 9 | sstrd 3613 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ) |
13 | 12 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ ℂ) |
14 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵) |
15 | 13, 14 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ ℂ) |
16 | 15 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ) |
17 | | unitssre 12319 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0[,]1)
⊆ ℝ |
18 | | ax-resscn 9993 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
19 | 17, 18 | sstri 3612 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (0[,]1)
⊆ ℂ |
20 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1)) |
21 | 19, 20 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ) |
22 | 16, 21 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑌 · 𝑡) = (𝑡 · 𝑌)) |
23 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵) |
24 | 13, 23 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ ℂ) |
25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍 ∈ ℂ) |
26 | | iirev 22728 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1
− 𝑡) ∈
(0[,]1)) |
27 | 26 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈
(0[,]1)) |
28 | 19, 27 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈
ℂ) |
29 | 25, 28 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = ((1 − 𝑡) · 𝑍)) |
30 | 22, 29 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍))) |
31 | | dvlipcn.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
32 | 31 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
33 | | dvlipcn.r |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ*) |
34 | 33 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈
ℝ*) |
35 | 14 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌 ∈ 𝐵) |
36 | 23 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍 ∈ 𝐵) |
37 | | dvlipcn.b |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) |
38 | 37 | blcvx 22601 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)
∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵) |
39 | 32, 34, 35, 36, 20, 38 | syl23anc 1333 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵) |
40 | 30, 39 | eqeltrd 2701 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵) |
41 | | eqidd 2623 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) |
42 | 8, 11 | fssresd 6071 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ) |
43 | 42 | feqmptd 6249 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧))) |
44 | | fvres 6207 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧)) |
45 | 44 | mpteq2ia 4740 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧)) |
46 | 43, 45 | syl6eq 2672 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧))) |
47 | 46 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧))) |
48 | | fveq2 6191 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) |
49 | 40, 41, 47, 48 | fmptco 6396 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) |
50 | | eqid 2622 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) |
51 | 40, 50 | fmptd 6385 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵) |
52 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . 9
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
53 | 52 | addcn 22668 |
. . . . . . . . . 10
⊢ + ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
54 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → + ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
55 | | cncfmptc 22714 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ (0[,]1)
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
56 | 19, 6, 55 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑌 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
57 | 15, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
58 | | cncfmptid 22715 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((0[,]1)
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
59 | 19, 6, 58 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ) |
60 | 59 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
61 | 57, 60 | mulcncf 23215 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑌 · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
62 | | cncfmptc 22714 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (0[,]1)
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
63 | 19, 6, 62 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
64 | 24, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
65 | 52 | subcn 22669 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ −
∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
66 | 65 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → − ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
67 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℂ |
68 | | cncfmptc 22714 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
→ (𝑡 ∈ (0[,]1)
↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
69 | 67, 19, 6, 68 | mp3an 1424 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1)
∈ ((0[,]1)–cn→ℂ) |
70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈
((0[,]1)–cn→ℂ)) |
71 | 52, 66, 70, 60 | cncfmpt2f 22717 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
72 | 64, 71 | mulcncf 23215 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
73 | 52, 54, 61, 72 | cncfmpt2f 22717 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
74 | | cncffvrn 22701 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵)) |
75 | 13, 73, 74 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵)) |
76 | 51, 75 | mpbird 247 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→𝐵)) |
77 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ℂ ⊆
ℂ) |
78 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ) |
79 | 52 | cnfldtop 22587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top |
80 | 52 | cnfldtopon 22586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈
(TopOn‘ℂ) |
81 | 80 | toponunii 20721 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℂ =
∪
(TopOpen‘ℂfld) |
82 | 81 | restid 16094 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld)) |
83 | 79, 82 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld) |
84 | 83 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℂ) |
85 | 52, 84 | dvres 23675 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))) |
86 | 7, 8, 9, 12, 85 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))) |
87 | | cnxmet 22576 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) |
88 | 87 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs ∘ − )
∈ (∞Met‘ℂ)) |
89 | 52 | cnfldtopn 22585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘
− )) |
90 | 89 | blopn 22305 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ −
))𝑅) ∈
(TopOpen‘ℂfld)) |
91 | 88, 31, 33, 90 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈
(TopOpen‘ℂfld)) |
92 | 37, 91 | syl5eqel 2705 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
(TopOpen‘ℂfld)) |
93 | | isopn3i 20886 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈
(TopOpen‘ℂfld)) →
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵) |
94 | 79, 92, 93 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 →
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵) |
95 | 94 | reseq2d 5396 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)) |
96 | 86, 95 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)) |
97 | 96 | dmeqd 5326 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)) |
98 | | dmres 5419 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
((ℂ D 𝐹) ↾
𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) |
99 | | df-ss 3588 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵) |
100 | 5, 99 | sylib 208 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵) |
101 | 98, 100 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵) |
102 | 97, 101 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵) |
103 | 102 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵) |
104 | | dvcn 23684 |
. . . . . . 7
⊢
(((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D
(𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ)) |
105 | 77, 78, 13, 103, 104 | syl31anc 1329 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ)) |
106 | 76, 105 | cncfco 22710 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
107 | 49, 106 | eqeltrrd 2702 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
108 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ℝ ⊆
ℂ) |
109 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (0[,]1) ⊆
ℝ) |
110 | 8 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ) |
111 | 11 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ⊆ 𝑋) |
112 | 111, 40 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝑋) |
113 | 110, 112 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ) |
114 | 52 | tgioo2 22606 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
115 | | 1re 10039 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℝ |
116 | | iccntr 22624 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1)) |
117 | 3, 115, 116 | sylancl 694 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1)) |
118 | 108, 109,
113, 114, 52, 117 | dvmptntr 23734 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))) |
119 | | reelprrecn 10028 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
∈ {ℝ, ℂ} |
120 | 119 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ℝ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
121 | | cnelprrecn 10029 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ℂ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
123 | | ioossicc 12259 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (0(,)1)
⊆ (0[,]1) |
124 | 123 | sseli 3599 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈
(0[,]1)) |
125 | 124, 40 | sylan2 491 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵) |
126 | 15, 24 | subcld 10392 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑍) ∈ ℂ) |
127 | 126 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 − 𝑍) ∈ ℂ) |
128 | 11 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑋) |
129 | 128 | sselda 3603 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝑋) |
130 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ) |
131 | 130 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) |
132 | 129, 131 | syldan 487 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) |
133 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V) |
134 | 15 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑌 ∈ ℂ) |
135 | 124, 21 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ) |
136 | 134, 135 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 · 𝑡) ∈ ℂ) |
137 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈
ℝ) |
138 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
139 | 138 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
140 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
141 | 120 | dvmptid 23720 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) |
142 | | ioossre 12235 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0(,)1)
⊆ ℝ |
143 | 142 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (0(,)1) ⊆
ℝ) |
144 | | iooretop 22569 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0(,)1)
∈ (topGen‘ran (,)) |
145 | 144 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (0(,)1) ∈ (topGen‘ran
(,))) |
146 | 120, 139,
140, 141, 143, 114, 52, 145 | dvmptres 23726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1)) |
147 | 120, 135,
137, 146, 15 | dvmptcmul 23727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1))) |
148 | 15 | mulid1d 10057 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 · 1) = 𝑌) |
149 | 148 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌)) |
150 | 147, 149 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌)) |
151 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑍 ∈ ℂ) |
152 | 124, 28 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈
ℂ) |
153 | 151, 152 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ) |
154 | | negex 10279 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ -𝑍 ∈ V |
155 | 154 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -𝑍 ∈ V) |
156 | | negex 10279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ -1 ∈
V |
157 | 156 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -1 ∈
V) |
158 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈
ℂ) |
159 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈
ℝ) |
160 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℂ) |
161 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈
ℝ) |
162 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 1 ∈ ℂ) |
163 | 120, 162 | dvmptc 23721 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦
0)) |
164 | 120, 160,
161, 163, 143, 114, 52, 145 | dvmptres 23726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
0)) |
165 | 120, 158,
159, 164, 135, 137, 146 | dvmptsub 23730 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (0 −
1))) |
166 | | df-neg 10269 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ -1 = (0
− 1) |
167 | 166 | mpteq2i 4741 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1) =
(𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
(0 − 1)) |
168 | 165, 167 | syl6eqr 2674 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1)) |
169 | 120, 152,
157, 168, 24 | dvmptcmul 23727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1))) |
170 | | neg1cn 11124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ -1 ∈
ℂ |
171 | | mulcom 10022 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ -1 ∈
ℂ) → (𝑍 ·
-1) = (-1 · 𝑍)) |
172 | 24, 170, 171 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 · -1) = (-1 · 𝑍)) |
173 | 24 | mulm1d 10482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (-1 · 𝑍) = -𝑍) |
174 | 172, 173 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 · -1) = -𝑍) |
175 | 174 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍)) |
176 | 169, 175 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍)) |
177 | 120, 136,
134, 150, 153, 155, 176 | dvmptadd 23723 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍))) |
178 | 15, 24 | negsubd 10398 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 + -𝑍) = (𝑌 − 𝑍)) |
179 | 178 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 − 𝑍))) |
180 | 177, 179 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 − 𝑍))) |
181 | 9 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ⊆ ℂ) |
182 | 77, 130, 181, 13, 85 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))) |
183 | 94 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) →
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵) |
184 | 183 | reseq2d 5396 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)) |
185 | 182, 184 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)) |
186 | 47 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (ℂ D (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧)))) |
187 | | dvfcn 23672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℂ
D (𝐹 ↾ 𝐵)):dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))⟶ℂ |
188 | 103 | feq2d 6031 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)):dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)):𝐵⟶ℂ)) |
189 | 187, 188 | mpbii 223 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)):𝐵⟶ℂ) |
190 | 185 | feq1d 6030 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)):𝐵⟶ℂ ↔ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)) |
191 | 189, 190 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ) |
192 | 191 | feqmptd 6249 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧))) |
193 | | fvres 6207 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)) |
194 | 193 | mpteq2ia 4740 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)) |
195 | 192, 194 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))) |
196 | 185, 186,
195 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℂ D (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))) |
197 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) |
198 | 120, 122,
125, 127, 132, 133, 180, 196, 48, 197 | dvmptco 23735 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)))) |
199 | 118, 198 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)))) |
200 | 199 | dmeqd 5326 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)))) |
201 | | ovex 6678 |
. . . . . . 7
⊢
(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)) ∈ V |
202 | 201 | rgenw 2924 |
. . . . . 6
⊢
∀𝑡 ∈
(0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)) ∈ V |
203 | | dmmptg 5632 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑡 ∈
(0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)) ∈ V → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) = (0(,)1)) |
204 | 202, 203 | mp1i 13 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) = (0(,)1)) |
205 | 200, 204 | eqtrd 2656 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (0(,)1)) |
206 | | dvlipcn.m |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ) |
207 | 206 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
208 | 126 | abscld 14175 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘(𝑌 − 𝑍)) ∈ ℝ) |
209 | 207, 208 | remulcld 10070 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) ∈ ℝ) |
210 | 199 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)))‘𝑡)) |
211 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) |
212 | 211 | fvmpt2 6291 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ (((ℂ
D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) |
213 | 201, 212 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) |
214 | 210, 213 | sylan9eq 2676 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) |
215 | 214 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍)))) |
216 | | dvfcn 23672 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℂ
D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ |
217 | 5 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) |
218 | 217, 125 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹)) |
219 | | ffvelrn 6357 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((ℂ D 𝐹):dom
(ℂ D 𝐹)⟶ℂ ∧ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ) |
220 | 216, 218,
219 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ) |
221 | 220, 127 | absmuld 14193 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(((ℂ
D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌 − 𝑍))) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
222 | 215, 221 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
223 | 220 | abscld 14175 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ
D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ℝ) |
224 | 206 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
225 | 127 | abscld 14175 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝑌 − 𝑍)) ∈ ℝ) |
226 | 127 | absge0d 14183 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤
(abs‘(𝑌 − 𝑍))) |
227 | | dvlipcn.l |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀) |
228 | 227 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀) |
229 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) |
230 | 229 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦))) |
231 | 230 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)) |
232 | 231 | cbvralv 3171 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐵 (abs‘((ℂ D
𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀) |
233 | 228, 232 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀) |
234 | 233 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀) |
235 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) |
236 | 235 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) |
237 | 236 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀)) |
238 | 237 | rspcv 3305 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀 → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀)) |
239 | 125, 234,
238 | sylc 65 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ
D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀) |
240 | 223, 224,
225, 226, 239 | lemul1ad 10963 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((ℂ
D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
241 | 222, 240 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
242 | 241 | ralrimiva 2966 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
243 | | nfv 1843 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑧(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) |
244 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑡abs |
245 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑡ℝ |
246 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑡
D |
247 | | nfmpt1 4747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) |
248 | 245, 246,
247 | nfov 6676 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑡(ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) |
249 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑡𝑧 |
250 | 248, 249 | nffv 6198 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑡((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧) |
251 | 244, 250 | nffv 6198 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) |
252 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡
≤ |
253 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡(𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) |
254 | 251, 252,
253 | nfbr 4699 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) |
255 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 𝑧 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) |
256 | 255 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 𝑧 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧))) |
257 | 256 | breq1d 4663 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 𝑧 → ((abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) ↔ (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))) |
258 | 243, 254,
257 | cbvral 3167 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑡 ∈
(0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) ↔ ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
259 | 242, 258 | sylib 208 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
260 | 259 | r19.21bi 2932 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
261 | 3, 4, 107, 205, 209, 260 | dvlip 23756 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈
(0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) · (abs‘(1 −
0)))) |
262 | 1, 2, 261 | mpanr12 721 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) · (abs‘(1 −
0)))) |
263 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 1 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 1)) |
264 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 −
1)) |
265 | | 1m1e0 11089 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1
− 1) = 0 |
266 | 264, 265 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0) |
267 | 266 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 1 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 0)) |
268 | 263, 267 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 1 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) |
269 | 268 | fveq2d 6195 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 1 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))) |
270 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) |
271 | | fvex 6201 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) ∈ V |
272 | 269, 270,
271 | fvmpt 6282 |
. . . . . 6
⊢ (1 ∈
(0[,]1) → ((𝑡 ∈
(0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))) |
273 | 1, 272 | ax-mp 5 |
. . . . 5
⊢ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) |
274 | 24 | mul01d 10235 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 · 0) = 0) |
275 | 148, 274 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = (𝑌 + 0)) |
276 | 15 | addid1d 10236 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 + 0) = 𝑌) |
277 | 275, 276 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = 𝑌) |
278 | 277 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) = (𝐹‘𝑌)) |
279 | 273, 278 | syl5eq 2668 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘𝑌)) |
280 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 0 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 0)) |
281 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 −
0)) |
282 | | 1m0e1 11131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1
− 0) = 1 |
283 | 281, 282 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1) |
284 | 283 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 0 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 1)) |
285 | 280, 284 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 0 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) |
286 | 285 | fveq2d 6195 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 0 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))) |
287 | | fvex 6201 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) ∈ V |
288 | 286, 270,
287 | fvmpt 6282 |
. . . . . 6
⊢ (0 ∈
(0[,]1) → ((𝑡 ∈
(0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))) |
289 | 2, 288 | ax-mp 5 |
. . . . 5
⊢ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) |
290 | 15 | mul01d 10235 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 · 0) = 0) |
291 | 24 | mulid1d 10057 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 · 1) = 𝑍) |
292 | 290, 291 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = (0 + 𝑍)) |
293 | 24 | addid2d 10237 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (0 + 𝑍) = 𝑍) |
294 | 292, 293 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = 𝑍) |
295 | 294 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) = (𝐹‘𝑍)) |
296 | 289, 295 | syl5eq 2668 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘𝑍)) |
297 | 279, 296 | oveq12d 6668 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) |
298 | 297 | fveq2d 6195 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) = (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍)))) |
299 | 282 | fveq2i 6194 |
. . . . 5
⊢
(abs‘(1 − 0)) = (abs‘1) |
300 | | abs1 14037 |
. . . . 5
⊢
(abs‘1) = 1 |
301 | 299, 300 | eqtri 2644 |
. . . 4
⊢
(abs‘(1 − 0)) = 1 |
302 | 301 | oveq2i 6661 |
. . 3
⊢ ((𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) =
((𝑀 ·
(abs‘(𝑌 − 𝑍))) · 1) |
303 | 209 | recnd 10068 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) ∈ ℂ) |
304 | 303 | mulid1d 10057 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) · 1) = (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
305 | 302, 304 | syl5eq 2668 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) =
(𝑀 ·
(abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |
306 | 262, 298,
305 | 3brtr3d 4684 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))) |