Theorem elicc2i 12239

Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicc2i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
elicc2i	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem elicc2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2i.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elicc2i.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		elicc2 12238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 708	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  0elunit  12290  1elunit  12291  divelunit  12314  lincmb01cmp  12315  iccf1o  12316  sinbnd2  14912  cosbnd2  14913  rpnnen2lem12  14954  blcvx  22601  iirev  22728  iihalf1  22730  iihalf2  22732  elii1  22734  elii2  22735  iimulcl  22736  iccpnfhmeo  22744  xrhmeo  22745  oprpiece1res2  22751  lebnumii  22765  htpycc  22779  pco0  22814  pcoval2  22816  pcocn  22817  pcohtpylem  22819  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  pcorevlem  22826  vitalilem2  23378  vitali  23382  abelth2  24196  coseq00topi  24254  coseq0negpitopi  24255  sinq12ge0  24260  cosq14ge0  24263  cosordlem  24277  cosord  24278  cos11  24279  sinord  24280  recosf1o  24281  resinf1o  24282  efif1olem3  24290  argregt0  24356  argrege0  24357  argimgt0  24358  logimul  24360  cxpsqrtlem  24448  chordthmlem4  24562  acosbnd  24627  leibpi  24669  log2ub  24676  jensenlem2  24714  emcllem7  24728  emgt0  24733  harmonicbnd3  24734  harmoniclbnd  24735  harmonicubnd  24736  harmonicbnd4  24737  lgamgulmlem2  24756  logdivbnd  25245  pntpbnd2  25276  ttgcontlem1  25765  brbtwn2  25785  ax5seglem1  25808  ax5seglem2  25809  ax5seglem3  25811  ax5seglem5  25813  ax5seglem6  25814  ax5seglem9  25817  ax5seg  25818  axbtwnid  25819  axpaschlem  25820  axpasch  25821  axcontlem2  25845  axcontlem4  25847  axcontlem7  25850  stge0  29083  stle1  29084  strlem3a  29111  elunitrn  29943  elunitge0  29945  unitdivcld  29947  xrge0iifiso  29981  xrge0iifhom  29983  resconn  31228  snmlff  31311  sin2h  33399  cos2h  33400  poimirlem29  33438  poimirlem30  33439  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  lhe4.4ex1a  38528  fourierdlem40  40364  fourierdlem62  40385  fourierdlem78  40401  fourierdlem111  40434  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446