Theorem opsrtoslem2 19485

Description: Lemma for opsrtos 19486. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q	⊢ < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
opsrtoslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrtoslem2	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝐵(𝑧,𝑤,ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   < (ℎ)   𝑇(ℎ)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)

Proof of Theorem opsrtoslem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrtoslem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 4815	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		opsrtoslem.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
5		opsrso.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		xpexg 6960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × 𝐼) ∈ V)
7	5, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐼) ∈ V)
8		opsrso.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
9	7, 8	ssexd 4805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
10		opsrso.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
11	4, 1, 5, 9, 10	ltbwe 19472	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)
12		opsrso.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
15		opsrtoslem.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < = (lt‘𝑅)
16	13, 14, 15	tosso 17036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅))))
17	16	ibi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
19	18	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or (Base‘𝑅))
20		opsrtoslem.ps	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
21	20	opabbii 4717	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
22	21	wemapso 8456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐶 We 𝐷 ∧ < Or (Base‘𝑅)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
23	3, 11, 19, 22	mp3an2i 1429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
24		opsrtoslem.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
25		opsrtoslem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
26	24, 13, 1, 25, 5	psrbas 19378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
27		soeq2 5055	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷)))
29	23, 28	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵)
30		soinxp 5183	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
31	29, 30	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
32		opsrso.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
33		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) ∈ V
34	32, 33	eqeltri 2697	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ V
35		opsrtoslem.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
36		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝑂) = (lt‘𝑂)
37	35, 36	pltfval 16959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lt‘𝑂) = ( ≤ ∖ I ))
38	34, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝑂) = ( ≤ ∖ I )
39		difundir 3880	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ))
40		resss 5422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ⊆ I
41		ssdif0 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅)
42	40, 41	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅
43	42	uneq2i 3764	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I )) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅)
44		un0 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
45	39, 43, 44	3eqtri 2648	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
46	32, 5, 12, 8, 10, 24, 25, 15, 4, 1, 20, 35	opsrtoslem1 19484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
47	46	difeq1d 3727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ))
48		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵)
49		relxp 5227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel (𝐵 × 𝐵)
50		relss 5206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵) → (Rel (𝐵 × 𝐵) → Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
51	48, 49, 50	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
53		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 I 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
54		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ∈ V
55	54	ideq 5274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 I 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
56	53, 55	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ↔ 𝑎 = 𝑏)
57		brin 4704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}𝑎 ∧ 𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎))
58	57	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → 𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎)
59		brxp 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
60	59	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵)
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵)
62		sonr 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
63	62	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
64	31, 61, 63	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
65	64	pm2.01d 181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
66		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏))
67		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
68	66, 67	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
69	68	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
70	65, 69	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = 𝑏 → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
71	56, 70	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
72	71	con2d 129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
73		opex 4932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
74		eldif 3584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
75	73, 74	mpbiran 953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
76	72, 75	syl6ibr 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I )))
77	52, 76	relssdv 5212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
78		disj2 4024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
79	77, 78	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅)
80		disj3 4021	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
81	79, 80	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
82	45, 47, 81	3eqtr4a 2682	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
83	38, 82	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
84		soeq1 5054	. . . . 5 ⊢ ((lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
85	83, 84	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
86	31, 85	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) Or 𝐵)
87	24, 32, 8	opsrbas 19479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))
88	25, 87	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
89		soeq2 5055	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝑂) → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂)))
90	88, 89	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂)))
91	86, 90	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂))
92	88	reseq2d 5396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ (Base‘𝑂)))
93		ssun2 3777	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
94	92, 93	syl6eqssr 3656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
95	94, 46	sseqtr4d 3642	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ )
96		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
97	96, 35, 36	tosso 17036	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ )))
98	34, 97	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ ))
99	91, 95, 98	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  {copab 4712   I cid 5023   Or wor 5034   We wwe 5072   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116   “ cima 5117  Rel wrel 5119  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  lecple 15948  ltcplt 16941  Tosetctos 17033   mPwSer cmps 19351   <_bag cltb 19354   ordPwSer copws 19355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-psr 19356  df-ltbag 19359  df-opsr 19360

This theorem is referenced by:  opsrtos  19486