Theorem psrass1lem 19377

Description: A group sum commutation used by psrass1 19405. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
gsumbagdiag.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumbagdiag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiag.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass1lem.y	⊢ (𝑘 = (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
psrass1lem	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑉,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑘   𝑆,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑋,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)   𝑌(𝑗,𝑛)

Proof of Theorem psrass1lem

Dummy variables 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		psrbagconf1o.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
3		gsumbagdiag.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		gsumbagdiag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
5		gsumbagdiag.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		gsumbagdiag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 19375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}))
8		gsumbagdiag.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)
11	9, 10	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
12	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ⊆ 𝐷
14	2, 13	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
15	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑆)
17	1, 2	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝑆)
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝑆)
19	14, 18	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}
21	1, 20	psrbagconf1o 19374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
22	12, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
23		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
25		fco 6058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵 ∧ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
26	11, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
27	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
28	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹 ∈ 𝐷)
29	1	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0)
32	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 ∈ 𝑆)
33	14, 32	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
34	1	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
35	27, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
36	35	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
37		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ⊆ 𝐷
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
39	37, 38	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 ∈ 𝐷)
40	1	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝐷) → 𝑚:𝐼⟶ℕ0)
41	27, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚:𝐼⟶ℕ0)
42	41	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0)
43		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
44		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
45		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑚‘𝑧) ∈ ℂ)
46		sub32 10315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑚‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
47	43, 44, 45, 46	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
48	31, 36, 42, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
49	48	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧))))
50		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V)
51	30	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑧)))
52	35	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
53	27, 31, 36, 51, 52	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
54	41	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚‘𝑧)))
55	27, 50, 42, 53, 54	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧))))
56		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) ∈ V)
57	27, 31, 42, 51, 54	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧))))
58	27, 56, 36, 57, 52	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧))))
59	49, 55, 58	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗))
60	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
61	1, 20	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
62	27, 60, 38, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
63	59, 62	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
64	59	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗)))
65		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛𝑋
66		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋
67		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑋 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋)
68	65, 66, 67	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋))
70		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
71	63, 64, 69, 70	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
72	71	feq1d 6030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵 ↔ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵))
73	26, 72	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
74		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
75	74	fmpt 6381	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
76	73, 75	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ∀𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
77	76	r19.21bi 2932	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
78	77	anasss 679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
79	7, 78	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
80	1, 2, 3, 4, 5, 6, 79	gsumbagdiag 19376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
81		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
82	1	psrbaglefi 19372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
83	3, 4, 82	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
84	2, 83	syl5eqel 2705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
85	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
86	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
87		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ 𝑆)
88	1, 2	psrbagconcl 19373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝑆)
89	85, 86, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝑆)
90	14, 89	sseldi 3601	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝐷)
91	1	psrbaglefi 19372	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝐷) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin)
92	85, 90, 91	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin)
93		xpfi 8231	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
94	84, 84, 93	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
95		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑚 ∈ 𝑆)
96	7	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
97		brxp 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗 ↔ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆))
98	95, 96, 97	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗)
99	98	pm2.24d 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (¬ 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗 → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺)))
100	99	impr 649	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}) ∧ ¬ 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗)) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺))
101	5, 81, 6, 84, 92, 79, 94, 100	gsum2d2 18373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
102	1	psrbaglefi 19372	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
103	12, 19, 102	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
104		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
105	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 19375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}))
106	105	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑚 ∈ 𝑆)
107		brxp 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚 ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆))
108	104, 106, 107	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚)
109	108	pm2.24d 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚 → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺)))
110	109	impr 649	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚)) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺))
111	5, 81, 6, 84, 103, 78, 94, 110	gsum2d2 18373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
112	80, 101, 111	3eqtr3d 2664	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
113	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
114	79	anassrs 680	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
115		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) = (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
116	114, 115	fmptd 6385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}⟶𝐵)
117		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
118	1, 117	rabex2 4815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ V
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
120		rabexg 4812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ V)
121		mptexg 6484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ V → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∈ V)
122	119, 120, 121	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∈ V)
123		funmpt 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Fun (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
125		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ V)
126		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ dom (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
127	115	dmmptss 5631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}
128	126, 127	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})
130		suppssfifsupp 8290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) ∧ (0g‘𝐺) ∈ V) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
131	122, 124, 125, 92, 129, 130	syl32anc 1334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
132	5, 81, 113, 92, 116, 131	gsumcl 18316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) ∈ 𝐵)
133		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
134	132, 133	fmptd 6385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))):𝑆⟶𝐵)
135	1, 2	psrbagconf1o 19374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
136	3, 4, 135	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
137		f1ocnv 6149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
138		f1of 6137	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆)
139	136, 137, 138	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆)
140		fco 6058	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))):𝑆⟶𝐵 ∧ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵)
141	134, 139, 140	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵)
142		coass 5654	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))))
143		f1ococnv2 6163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ( I ↾ 𝑆))
144	136, 143	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ( I ↾ 𝑆))
145	144	coeq2d 5284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)))
146	142, 145	syl5eq 2668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)))
147		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))
148		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
149		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))
150	149	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})
151		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ V
152		psrass1lem.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) → 𝑋 = 𝑌)
153	151, 152	csbie 3559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋(𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = 𝑌
154		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗))
155	154	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → ⦋(𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
156	153, 155	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → 𝑌 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
157	150, 156	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌) = (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
159	89, 147, 148, 158	fmptco 6396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))))
160	159	coeq1d 5283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))))
161		coires1 5653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆)
162		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑆
163		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑆 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
165	161, 164	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
167	146, 160, 166	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
168	167	feq1d 6030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))):𝑆⟶𝐵))
169	141, 168	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))):𝑆⟶𝐵)
170		rabexg 4812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ V)
171	118, 170	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ V)
172	2, 171	syl5eqel 2705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
173		mptexg 6484	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∈ V)
174	172, 173	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∈ V)
175		funmpt 5926	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
176	175	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
177		fvexd 6203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
178		suppssdm 7308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
179		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
180	179	dmmptss 5631	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ⊆ 𝑆
181	178, 180	sstri 3612	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝑆
182	181	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝑆)
183		suppssfifsupp 8290	. . . . 5 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∧ (0g‘𝐺) ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝑆)) → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) finSupp (0g‘𝐺))
184	174, 176, 177, 84, 182, 183	syl32anc 1334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) finSupp (0g‘𝐺))
185	5, 81, 6, 84, 169, 184, 136	gsumf1o 18317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))))
186	159	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
187	185, 186	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
188	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
189	118	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
190		rabexg 4812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ V)
191		mptexg 6484	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ V → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
192	189, 190, 191	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
193		funmpt 5926	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)
194	193	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → Fun (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋))
195		fvexd 6203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ V)
196		suppssdm 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)
197	10	dmmptss 5631	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}
198	196, 197	sstri 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
200		suppssfifsupp 8290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∧ (0g‘𝐺) ∈ V) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0g‘𝐺)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
201	192, 194, 195, 103, 199, 200	syl32anc 1334	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
202	5, 81, 188, 103, 11, 201, 22	gsumf1o 18317	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)))))
203	71	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
204	202, 203	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
205	204	mpteq2dva 4744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋))) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))))
206	205	oveq2d 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
207	112, 187, 206	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200  ⦋csb 3533   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   I cid 5023   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114   ↾ cres 5116   “ cima 5117   ∘ ccom 5118  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652   ∘_𝑓 cof 6895   ∘_𝑟 cofr 6896   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  ℂcc 9934   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  psrass1  19405