Theorem onelon 5748

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onelon	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5733	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordelon 5747	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylan 488	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  Ord word 5722  Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by:  oneli  5835  ssorduni  6985  unon  7031  tfindsg2  7061  dfom2  7067  ordom  7074  onfununi  7438  onnseq  7441  dfrecs3  7469  tz7.48-2  7537  tz7.49  7540  oalim  7612  omlim  7613  oelim  7614  oaordi  7626  oalimcl  7640  oaass  7641  omordi  7646  omlimcl  7658  odi  7659  omass  7660  omeulem1  7662  omeulem2  7663  omopth2  7664  oewordri  7672  oeordsuc  7674  oelimcl  7680  oeeui  7682  oaabs2  7725  omabs  7727  omxpenlem  8061  hartogs  8449  card2on  8459  cantnfle  8568  cantnflt  8569  cantnfp1lem2  8576  cantnfp1lem3  8577  cantnfp1  8578  oemapvali  8581  cantnflem1b  8583  cantnflem1c  8584  cantnflem1d  8585  cantnflem1  8586  cantnflem2  8587  cantnflem3  8588  cantnflem4  8589  cantnf  8590  cnfcomlem  8596  cnfcom3lem  8600  cnfcom3  8601  r1ordg  8641  r1val3  8701  tskwe  8776  iscard  8801  cardmin2  8824  infxpenlem  8836  infxpenc2lem2  8843  alephordi  8897  alephord2i  8900  alephle  8911  cardaleph  8912  cfub  9071  cfsmolem  9092  zorn2lem5  9322  zorn2lem6  9323  ttukeylem6  9336  ttukeylem7  9337  ondomon  9385  cardmin  9386  alephval2  9394  alephreg  9404  smobeth  9408  winainflem  9515  inar1  9597  inatsk  9600  dfrdg2  31701  sltval2  31809  sltres  31815  nosepeq  31835  nosupno  31849  nosupres  31853  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd2lem1  31861  nosupbnd2  31862  dfrdg4  32058  ontopbas  32427  onpsstopbas  32429  onint1  32448