Theorem caushft 33557

Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caures.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
caures.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
caushft.4	|- W = ( ZZ>= ` ( M + N ) )
caushft.5	|- ( ph -> N e. ZZ )
caushft.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + N ) ) )
caushft.8	|- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )
caushft.9	|- ( ph -> G : W --> X )

Assertion

Ref	Expression
caushft	|- ( ph -> G e. ( Cau ` D ) )

Distinct variable groups:   D, k   k, G   ph, k   k, X   k, F   k, N   k, Z

Allowed substitution hints:   M( k)   W( k)

Proof of Theorem caushft

Dummy variables j m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caushft.8	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )
2		caures.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		caures.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4		metxmet 22139	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
6		caures.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		caushft.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + N ) ) )
8	7	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) = ( G ` ( k + N ) ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k + N ) = ( j + N ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( G ` ( k + N ) ) = ( G ` ( j + N ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + N ) ) <-> ( F ` j ) = ( G ` ( j + N ) ) ) )
13	12	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( F ` k ) = ( G ` ( k + N ) ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( G ` ( j + N ) ) )
14	8, 13	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( G ` ( j + N ) ) )
15	2, 5, 6, 7, 14	iscau4 23077	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) ) ) )
16	1, 15	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) ) )
17	16	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) )
18	2	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z <-> j e. ( ZZ>= ` M ) )
19	18	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
20		caushft.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
21		eluzadd 11716	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( j + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + N ) ) )
22	19, 20, 21	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + N ) ) )
23		caushft.4	. . . . . . 7 |- W = ( ZZ>= ` ( M + N ) )
24	22, 23	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + N ) e. W )
25		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> j e. Z )
26	25, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> j e. ZZ )
29	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> N e. ZZ )
30		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) )
31		eluzsub 11717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( m - N ) e. ( ZZ>= ` j ) )
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( m - N ) e. ( ZZ>= ` j ) )
33		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x )
34	33	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x )
35		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m - N ) -> ( k + N ) = ( ( m - N ) + N ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m - N ) -> ( G ` ( k + N ) ) = ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m - N ) -> ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) = ( ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) )
38	37	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( m - N ) -> ( ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x <-> ( ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) )
39	38	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( m - N ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x -> ( ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) )
40	32, 34, 39	syl2im 40	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> ( ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) )
41		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) -> m e. ZZ )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> m e. ZZ )
43	42	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> m e. CC )
44	20	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. CC )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> N e. CC )
46	43, 45	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( ( m - N ) + N ) = m )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) = ( G ` m ) )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) = ( ( G ` m ) D ( G ` ( j + N ) ) ) )
49	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
50		caushft.9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : W --> X )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> G : W --> X )
52	23	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j + N ) e. W /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> m e. W )
53	24, 52	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> m e. W )
54	51, 53	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( G ` m ) e. X )
55	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> G : W --> X )
56	55, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( G ` ( j + N ) ) e. X )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( G ` ( j + N ) ) e. X )
58		metsym 22155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( G ` m ) e. X /\ ( G ` ( j + N ) ) e. X ) -> ( ( G ` m ) D ( G ` ( j + N ) ) ) = ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) )
59	49, 54, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( ( G ` m ) D ( G ` ( j + N ) ) ) = ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) )
60	48, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) = ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) )
61	60	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( ( ( G ` ( ( m - N ) + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x <-> ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) < x ) )
62	40, 61	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) < x ) )
63	62	ralrimdva 2969	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) < x ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + N ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + N ) ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( j + N ) -> ( G ` n ) = ( G ` ( j + N ) ) )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( j + N ) -> ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) = ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) )
67	66	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + N ) -> ( ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x <-> ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) < x ) )
68	64, 67	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + N ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) < x ) )
69	68	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( j + N ) e. W /\ A. m e. ( ZZ>= ` ( j + N ) ) ( ( G ` ( j + N ) ) D ( G ` m ) ) < x ) -> E. n e. W A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x )
70	24, 63, 69	syl6an 568	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> E. n e. W A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x ) )
71	70	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> E. n e. W A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x ) )
72	71	ralimdv 2963	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( G ` ( k + N ) ) e. X /\ ( ( G ` ( k + N ) ) D ( G ` ( j + N ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. W A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x ) )
73	17, 72	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. W A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x )
74	6, 20	zaddcld 11486	. . 3 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
75		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( G ` m ) = ( G ` m ) )
76		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( G ` n ) = ( G ` n ) )
77	23, 5, 74, 75, 76, 50	iscauf 23078	. 2 |- ( ph -> ( G e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. n e. W A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) D ( G ` m ) ) < x ) )
78	73, 77	mpbird 247	1 |- ( ph -> G e. ( Cau ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-cau 23054

This theorem is referenced by: (None)