Theorem coeq1 5279

Description: Equality theorem for composition of two classes. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
coeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∘ 𝐶) = (𝐵 ∘ 𝐶))

Proof of Theorem coeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1 5277	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∘ 𝐶))
2		coss1 5277	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∘ 𝐶))
3	1, 2	anim12i 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∘ 𝐶) ∧ (𝐵 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∘ 𝐶)))
4		eqss 3618	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3618	. 2 ⊢ ((𝐴 ∘ 𝐶) = (𝐵 ∘ 𝐶) ↔ ((𝐴 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∘ 𝐶) ∧ (𝐵 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∘ 𝐶)))
6	3, 4, 5	3imtr4i 281	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∘ 𝐶) = (𝐵 ∘ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ⊆ wss 3574   ∘ ccom 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-in 3581  df-ss 3588  df-br 4654  df-opab 4713  df-co 5123

This theorem is referenced by:  coeq1i  5281  coeq1d  5283  coi2  5652  relcnvtr  5655  funcoeqres  6167  ereq1  7749  domssex2  8120  wemapwe  8594  seqf1olem2  12841  seqf1o  12842  relexpsucnnl  13772  isps  17202  pwsco1mhm  17370  frmdup3  17404  symgov  17810  pmtr3ncom  17895  psgnunilem1  17913  frgpup3  18191  gsumval3  18308  evlseu  19516  evlsval2  19520  evls1val  19685  evls1sca  19688  evl1val  19693  mpfpf1  19715  pf1mpf  19716  pf1ind  19719  frgpcyg  19922  frlmup4  20140  xkococnlem  21462  xkococn  21463  cnmpt1k  21485  cnmptkk  21486  xkofvcn  21487  qtopeu  21519  qtophmeo  21620  utop2nei  22054  cncombf  23425  dgrcolem2  24030  dgrco  24031  motplusg  25437  hocsubdir  28644  hoddi  28849  opsqrlem1  28999  smatfval  29861  msubco  31428  coideq  34009  trljco  36028  tgrpov  36036  tendovalco  36053  erngmul  36094  erngmul-rN  36102  cdlemksv  36132  cdlemkuu  36183  cdlemk41  36208  cdleml5N  36268  cdleml9  36272  dvamulr  36300  dvavadd  36303  dvhmulr  36375  dvhvscacbv  36387  dvhvscaval  36388  dih1dimatlem0  36617  dihjatcclem4  36710  diophrw  37322  eldioph2  37325  diophren  37377  mendmulr  37758  rngcinv  41981  rngcinvALTV  41993  ringcinv  42032  ringcinvALTV  42056