Theorem frmdup3 17404

Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup3.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup3	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼   𝑚,𝑀   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frmdup3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup3.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		frmdup3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
4		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simp2 1062	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simp3 1063	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frmdup1 17401	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
8	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
10	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
11		frmdup3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
12		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
13	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12	frmdup2 17402	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
14	13	mpteq2dva 4744	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴‘𝑦)))
15		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
16	15, 2	mhmf 17340	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
18	11	vrmdf 17395	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
19	18	3ad2ant2 1083	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
20	1, 15	frmdbas 17389	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
21	20	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
22	21	feq3d 6032	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
23	19, 22	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
24		fcompt 6400	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))))
25	17, 23, 24	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))))
26	6	feqmptd 6249	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐴 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴‘𝑦)))
27	14, 25, 26	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
28	1, 2, 11	frmdup3lem 17403	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))
29	28	expr 643	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))))
30	29	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))))
31		coeq1 5279	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈))
32	31	eqeq1d 2624	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
33	32	eqreu 3398	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
34	7, 27, 30, 33	syl3anc 1326	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃!wreu 2914   ↦ cmpt 4729   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Word cword 13291  Basecbs 15857   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  freeMndcfrmd 17384  var_FMndcvrmd 17385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-vrmd 17387

This theorem is referenced by: (None)