Theorem divalglem2 15118

Description: Lemma for divalg 15126. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem2	⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
2		ssrab2 3687	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)} ⊆ ℕ0
3	1, 2	eqsstri 3635	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
4		nn0uz 11722	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5	3, 4	sseqtri 3637	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
6		divalglem0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
7		divalglem0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
8		zmulcl 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
10		nn0abscl 14052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
12	11	nn0zi 11402	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
13		zaddcl 11417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
14	6, 12, 13	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
15		divalglem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ≠ 0
16	6, 7, 15	divalglem1 15117	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
17		elnn0z 11390	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
18	14, 16, 17	mpbir2an 955	. . . 4 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
19		iddvds 14995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
20		dvdsabsb 15001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
21	20	anidms 677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
22	19, 21	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
23	7, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
24		nn0abscl 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
26	25	nn0negzi 11416	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
27		nn0abscl 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
28	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
29	28	nn0zi 11402	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
30		dvdsmultr2 15021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
31	7, 26, 29, 30	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
32	23, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
33		zcn 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	6, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
35		zcn 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
36	7, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
37	34, 36	absmuli 14143	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38	37	negeqi 10274	. . . . . 6 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
39		df-neg 10269	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
40	34	subidi 10352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 𝑁) = 0
41	40	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
42	11	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
43		subsub4 10314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
44	34, 34, 42, 43	mp3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
45	39, 41, 44	3eqtr2ri 2651	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
46	34	abscli 14134	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℝ
47	46	recni 10052	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℂ
48	36	abscli 14134	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
49	48	recni 10052	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
50	47, 49	mulneg1i 10476	. . . . . 6 ⊢ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
51	38, 45, 50	3eqtr4i 2654	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
52	32, 51	breqtrri 4680	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
53		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
54	53	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
55	54, 1	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
56	18, 52, 55	mpbir2an 955	. . 3 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
57	56	ne0ii 3923	. 2 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
58		infssuzcl 11772	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
59	5, 57, 58	mp2an 708	1 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  abscabs 13974   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  divalglem5  15120  divalglem9  15124