Theorem etransclem3 40454

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem3	⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 11389	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 11389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem3.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		etransclem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7		etransclem3.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
8	6, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁))
9	8	elfzelzd 39530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℤ)
10	4, 9	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
12	2, 5, 11	3jca 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ))
13	9	zred 11482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
15	5	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
16		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽))
17	14, 15, 16	nltled 10187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃)
18	15, 14	subge0d 10617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ↔ (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃))
19	17, 18	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)))
20		elfzle1 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
21	8, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
22	3	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22, 13	subge02d 10619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐶‘𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃))
24	21, 23	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
26	12, 19, 25	jca32 558	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)))
27		elfz2 12333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)))
28	26, 27	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃))
29		permnn 13113	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 11481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
32		etransclem3.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33	7	elfzelzd 39530	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
34	32, 33	zsubcld 11487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
35	34	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
36		elnn0z 11390	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽))))
37	11, 19, 36	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0)
38		zexpcl 12875	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
39	35, 37, 38	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
40	31, 39	zmulcld 11488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
41	1, 40	ifclda 4120	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090

This theorem is referenced by:  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem26  40477  etransclem35  40486  etransclem37  40488