Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem etransclem3 40454
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem3.n |- ( ph -> P e. NN )
etransclem3.c |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
etransclem3.j |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem3.4 |- ( ph -> K e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
etransclem3 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
Proof of Theorem etransclem3
StepHypRef Expression
1 0zd 11389 . 2 |- ( ( ph /\ P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ )
2 0zd 11389 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ )
3 etransclem3.n . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
43nnzd 11481 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
54adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. ZZ )
6 etransclem3.c . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
7 etransclem3.j . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
86, 7ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) )
98elfzelzd 39530 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ZZ )
104, 9zsubcld 11487 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ )
1110adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ )
122, 5, 113jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) )
139zred 11482 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` J ) e. RR )
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) e. RR )
155zred 11482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. RR )
16 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> -. P < ( C ` J ) )
1714, 15, 16nltled 10187 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) <_ P )
1815, 14subge0d 10617 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) <-> ( C ` J ) <_ P ) )
1917, 18mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) )
20 elfzle1 12344 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ ( C ` J ) )
218, 20syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( C ` J ) )
223nnred 11035 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. RR )
2322, 13subge02d 10619 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( C ` J ) <-> ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) )
2421, 23mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P )
2524adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P )
2612, 19, 25jca32 558 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) )
27 elfz2 12333 . . . . . 6 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) )
2826, 27sylibr 224 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) )
29 permnn 13113 . . . . 5 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN )
3028, 29syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN )
3130nnzd 11481 . . 3 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ )
32 etransclem3.4 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. ZZ )
337elfzelzd 39530 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
3432, 33zsubcld 11487 . . . . 5 |- ( ph -> ( K - J ) e. ZZ )
3534adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( K - J ) e. ZZ )
36 elnn0z 11390 . . . . 5 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 <-> ( ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) ) )
3711, 19, 36sylanbrc 698 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 )
38 zexpcl 12875 . . . 4 |- ( ( ( K - J ) e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ )
3935, 37, 38syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ )
4031, 39zmulcld 11488 . 2 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ )
411, 40ifclda 4120 1 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090
This theorem is referenced by:  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem26  40477  etransclem35  40486  etransclem37  40488
  Copyright terms: Public domain W3C validator