Theorem eulerth 15488

Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If 𝐴 and 𝑁 are coprime, then 𝐴↑ϕ(𝑁)≡1 (mod 𝑁). This is Metamath 100 proof #10. Also called Euler-Fermat theorem, see theorem 5.17 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eulerth	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Proof of Theorem eulerth

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phicl 15474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3		hashfz1 13134	. . . . . . 7 ⊢ ((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
5		dfphi2 15479	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (#‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
6	4, 5	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (#‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
7	6	3ad2ant1 1082	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (#‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (#‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
8		fzfi 12771	. . . . 5 ⊢ (1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin
9		fzofi 12773	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
10		ssrab2 3687	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)
11		ssfi 8180	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
12	9, 10, 11	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
13		hashen 13135	. . . . 5 ⊢ (((1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((#‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (#‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
14	8, 12, 13	mp2an 708	. . . 4 ⊢ ((#‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (#‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
15	7, 14	sylib 208	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
16		bren 7964	. . 3 ⊢ ((1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
17	15, 16	sylib 208	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
18		simpl 473	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
19		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 gcd 𝑁) = (𝑦 gcd 𝑁))
20	19	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑦 gcd 𝑁) = 1))
21	20	cbvrabv 3199	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
22		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1...(ϕ‘𝑁)) = (1...(ϕ‘𝑁))
23		simpr 477	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
24		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
25	24	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐴 · (𝑓‘𝑘)) = (𝐴 · (𝑓‘𝑥)))
26	25	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐴 · (𝑓‘𝑘)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝑓‘𝑥)) mod 𝑁))
27	26	cbvmptv 4750	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↦ ((𝐴 · (𝑓‘𝑘)) mod 𝑁)) = (𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↦ ((𝐴 · (𝑓‘𝑥)) mod 𝑁))
28	18, 21, 22, 23, 27	eulerthlem2 15487	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
29	17, 28	exlimddv 1863	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {crab 2916   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ≈ cen 7952  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668  ↑cexp 12860  #chash 13117   gcd cgcd 15216  ϕcphi 15469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471

This theorem is referenced by:  fermltl  15489  prmdiv  15490  odzcllem  15497  odzphi  15501  vfermltl  15506  lgslem1  25022  lgsqrlem2  25072