Theorem fzofi 12773

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 12471	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 12771	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	syl6eqel 2709	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 12467	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6052	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 6818	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fin 8188	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	syl6eqel 2709	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 176	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158   × cxp 5112  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  1c1 9937   − cmin 10266  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  uzindi  12781  fnfzo0hashnn0  13235  wrdfin  13323  hashwrdn  13337  ccatalpha  13375  telfsumo  14534  fsumparts  14538  geoserg  14598  bitsfi  15159  bitsinv1  15164  bitsinvp1  15171  sadcaddlem  15179  sadadd2lem  15181  sadadd3  15183  sadaddlem  15188  sadasslem  15192  sadeq  15194  crth  15483  phimullem  15484  eulerthlem2  15487  eulerth  15488  phisum  15495  prmgaplem3  15757  cshwshashnsame  15810  ablfaclem3  18486  ablfac2  18488  iunmbl  23321  volsup  23324  dvfsumle  23784  dvfsumge  23785  dvfsumabs  23786  advlogexp  24401  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem2  25179  dchrisum  25181  vdegp1bi  26433  eupthfi  27065  trlsegvdeglem6  27085  fz1nnct  29560  sigapildsys  30225  carsgclctunlem3  30382  ccatmulgnn0dir  30619  ofcccat  30620  signsplypnf  30627  signsvvf  30656  prodfzo03  30681  fsum2dsub  30685  reprle  30692  reprsuc  30693  reprfi  30694  reprlt  30697  hashreprin  30698  reprgt  30699  reprinfz1  30700  reprpmtf1o  30704  breprexplema  30708  breprexplemc  30710  breprexpnat  30712  circlemeth  30718  circlemethnat  30719  circlevma  30720  circlemethhgt  30721  hgt750lema  30735  mvrsfpw  31403  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  poimirlem30  33439  amgm2d  38501  amgm3d  38502  amgm4d  38503  fourierdlem25  40349  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem73  40396  fourierdlem79  40402  fourierdlem80  40403  meaiunlelem  40685  pwdif  41501  2pwp1prm  41503  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414  nn0mullong  42419  amgmw2d  42550