Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eulerth.1 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) |
2 | 1 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
3 | 2 | phicld 15477 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈
ℕ) |
4 | 3 | nnred 11035 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈
ℝ) |
5 | 4 | leidd 10594 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) |
6 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (ϕ‘𝑁) ∈
ℕ) |
7 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ 1 ≤ (ϕ‘𝑁))) |
8 | 7 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)))) |
9 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑1)) |
10 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · ,
𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1)) |
11 | 9, 10 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1))) |
12 | 11 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁)) |
13 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · ,
𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘1)) |
14 | 13 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 1 → ((seq1( · ,
𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁)) |
15 | 12, 14 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 1 → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁))) |
16 | 10 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1))) |
17 | 16 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)) |
18 | 15, 17 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 1 → (((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))) |
19 | 8, 18 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 1 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)))) |
20 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))) |
21 | 20 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))) |
22 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧)) |
23 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) |
24 | 22, 23 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧))) |
25 | 24 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁)) |
26 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) |
27 | 26 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁)) |
28 | 25, 27 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁))) |
29 | 23 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧))) |
30 | 29 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) |
31 | 28, 30 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1))) |
32 | 21, 31 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)))) |
33 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) |
34 | 33 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)))) |
35 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑧 + 1))) |
36 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) |
37 | 35, 36 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)))) |
38 | 37 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) |
39 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1))) |
40 | 39 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)) |
41 | 38, 40 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁))) |
42 | 36 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)))) |
43 | 42 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)) |
44 | 41, 43 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))) |
45 | 34, 44 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))) |
46 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁))) |
47 | 46 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)))) |
48 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(ϕ‘𝑁))) |
49 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) |
50 | 48, 49 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))) |
51 | 50 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁)) |
52 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁))) |
53 | 52 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((seq1( · ,
𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁)) |
54 | 51, 53 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁))) |
55 | 49 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))) |
56 | 55 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)) |
57 | 54, 56 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))) |
58 | 47, 57 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)))) |
59 | 1 | simp2d 1074 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ) |
60 | | eulerth.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆) |
61 | | f1of 6137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑇⟶𝑆) |
62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶𝑆) |
63 | | nnuz 11723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
64 | 3, 63 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈
(ℤ≥‘1)) |
65 | | eluzfz1 12348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((ϕ‘𝑁)
∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈
(1...(ϕ‘𝑁))) |
66 | 64, 65 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 1 ∈
(1...(ϕ‘𝑁))) |
67 | | eulerth.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁)) |
68 | 66, 67 | syl6eleqr 2712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑇) |
69 | 62, 68 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑆) |
70 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 = (𝐹‘1) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁)) |
71 | 70 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 = (𝐹‘1) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1)) |
72 | | eulerth.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} |
73 | 71, 72 | elrab2 3366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘1) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1)) |
74 | 69, 73 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1)) |
75 | 74 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁)) |
76 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘1) ∈ ℤ) |
77 | 75, 76 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℤ) |
78 | 59, 77 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℤ) |
79 | 78 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℝ) |
80 | 2 | nnrpd 11870 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
81 | | modabs2 12704 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
→ (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁)) |
82 | 79, 80, 81 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁)) |
83 | | 1z 11407 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℤ |
84 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1)) |
85 | 84 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · (𝐹‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘1))) |
86 | 85 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁)) |
87 | | eulerth.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁)) |
88 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) ∈ V |
89 | 86, 87, 88 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1 ∈
𝑇 → (𝐺‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁)) |
90 | 68, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁)) |
91 | 83, 90 | seq1i 12815 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁)) |
92 | 91 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁)) |
93 | 59 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
94 | 93 | exp1d 13003 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴) |
95 | | seq1 12814 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1 ∈
ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)) |
96 | 83, 95 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (seq1(
· , 𝐹)‘1) =
(𝐹‘1) |
97 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)) |
98 | 94, 97 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝐴 · (𝐹‘1))) |
99 | 98 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁)) |
100 | 82, 92, 99 | 3eqtr4rd 2667 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁)) |
101 | 96 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝑁 gcd (𝐹‘1)) |
102 | 2 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
103 | | gcdcom 15235 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℤ) →
(𝑁 gcd (𝐹‘1)) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁)) |
104 | 102, 77, 103 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁)) |
105 | 74 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1) |
106 | 104, 105 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = 1) |
107 | 101, 106 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1) |
108 | 100, 107 | jca 554 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)) |
109 | 108 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)) |
110 | | nnre 11027 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈
ℝ) |
111 | 110 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ℝ) |
112 | 111 | lep1d 10955 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑧 ≤ (𝑧 + 1)) |
113 | | peano2re 10209 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈
ℝ) |
114 | 111, 113 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ) |
115 | 4 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (ϕ‘𝑁) ∈
ℝ) |
116 | | letr 10131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧
(ϕ‘𝑁) ∈
ℝ) → ((𝑧 ≤
(𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))) |
117 | 111, 114,
115, 116 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((𝑧 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))) |
118 | 112, 117 | mpand 711 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))) |
119 | 118 | imdistanda 729 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))) |
120 | 119 | imim1d 82 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)))) |
121 | 59 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ) |
122 | | nnnn0 11299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈
ℕ0) |
123 | 122 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℕ0) |
124 | | zexpcl 12875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑧) ∈
ℤ) |
125 | 121, 123,
124 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴↑𝑧) ∈ ℤ) |
126 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℕ) |
127 | 126, 63 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈
(ℤ≥‘1)) |
128 | 110 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℝ) |
129 | 128, 113 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ) |
130 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ) |
131 | 128 | lep1d 10955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ≤ (𝑧 + 1)) |
132 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) |
133 | 128, 129,
130, 131, 132 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) |
134 | | nnz 11399 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈
ℤ) |
135 | 134 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ) |
136 | 3 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈
ℤ) |
137 | 136 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) |
138 | | eluz 11701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧
(ϕ‘𝑁) ∈
ℤ) → ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑧) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))) |
139 | 135, 137,
138 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑧) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))) |
140 | 133, 139 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑧)) |
141 | | fzss2 12381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((ϕ‘𝑁)
∈ (ℤ≥‘𝑧) → (1...𝑧) ⊆ (1...(ϕ‘𝑁))) |
142 | 140, 141 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (1...𝑧) ⊆ (1...(ϕ‘𝑁))) |
143 | 142, 67 | syl6sseqr 3652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (1...𝑧) ⊆ 𝑇) |
144 | 143 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑇) |
145 | 62 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆) |
146 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁)) |
147 | 146 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1)) |
148 | 147, 72 | elrab2 3366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1)) |
149 | 145, 148 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1)) |
150 | 149 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁)) |
151 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) |
152 | 150, 151 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) |
153 | 152 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) |
154 | 144, 153 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) |
155 | | zmulcl 11426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) |
156 | 155 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) |
157 | 127, 154,
156 | seqcl 12821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℤ) |
158 | 125, 157 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℤ) |
159 | 158 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ) |
160 | | ssrab2 3687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁) |
161 | 72, 160 | eqsstri 3635 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 𝑆 ⊆ (0..^𝑁) |
162 | 1, 72, 67, 60, 87 | eulerthlem1 15486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑇⟶𝑆) |
163 | 162 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆) |
164 | 161, 163 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0..^𝑁)) |
165 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℤ) |
166 | 164, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℤ) |
167 | 166 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℤ) |
168 | 144, 167 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℤ) |
169 | 127, 168,
156 | seqcl 12821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ) |
170 | 169 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ) |
171 | 62 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐹:𝑇⟶𝑆) |
172 | | peano2nn 11032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈
ℕ) |
173 | 172 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℕ) |
174 | 173 | nnge1d 11063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 1 ≤ (𝑧 + 1)) |
175 | 173 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℤ) |
176 | | elfz 12332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℤ ∧ 1
∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑧 + 1) ∈
(1...(ϕ‘𝑁))
↔ (1 ≤ (𝑧 + 1)
∧ (𝑧 + 1) ≤
(ϕ‘𝑁)))) |
177 | 83, 176 | mp3an2 1412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℤ ∧
(ϕ‘𝑁) ∈
ℤ) → ((𝑧 + 1)
∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)))) |
178 | 175, 137,
177 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)))) |
179 | 174, 132,
178 | mpbir2and 957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) |
180 | 179, 67 | syl6eleqr 2712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ 𝑇) |
181 | 171, 180 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ 𝑆) |
182 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁)) |
183 | 182 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1)) |
184 | 183, 72 | elrab2 3366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1)) |
185 | 181, 184 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1)) |
186 | 185 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁)) |
187 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) |
188 | 186, 187 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) |
189 | 121, 188 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ) |
190 | 80 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑁 ∈
ℝ+) |
191 | | modmul1 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · ,
𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (seq1( · ,
𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
∧ (((𝐴↑𝑧) · (seq1( · ,
𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁)) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁)) |
192 | 191 | 3expia 1267 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · ,
𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (seq1( · ,
𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
→ ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · ,
𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁))) |
193 | 159, 170,
189, 190, 192 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁))) |
194 | 125 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴↑𝑧) ∈ ℂ) |
195 | 157 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ) |
196 | 93 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
197 | 188 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℂ) |
198 | 194, 195,
196, 197 | mul4d 10248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (((𝐴↑𝑧) · 𝐴) · ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1))))) |
199 | 196, 123 | expp1d 13009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴↑(𝑧 + 1)) = ((𝐴↑𝑧) · 𝐴)) |
200 | | seqp1 12816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 ∈
(ℤ≥‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) |
201 | 127, 200 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) |
202 | 199, 201 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = (((𝐴↑𝑧) · 𝐴) · ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1))))) |
203 | 198, 202 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)))) |
204 | 203 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) |
205 | 189 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ) |
206 | 205, 190 | modcld 12674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℝ) |
207 | | modabs2 12704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
→ (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) |
208 | 205, 190,
207 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) |
209 | | modmul1 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ·
(𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ) ∧ ((seq1(
· , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
∧ (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) → ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁)) |
210 | 206, 205,
169, 190, 208, 209 | syl221anc 1337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁)) |
211 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑧 + 1))) |
212 | 211 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐴 · (𝐹‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) |
213 | 212 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) |
214 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ V |
215 | 213, 87, 214 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑧 + 1) ∈ 𝑇 → (𝐺‘(𝑧 + 1)) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) |
216 | 180, 215 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐺‘(𝑧 + 1)) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) |
217 | 216 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1))) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))) |
218 | | seqp1 12816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 ∈
(ℤ≥‘1) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1)))) |
219 | 127, 218 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1)))) |
220 | 206 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℂ) |
221 | 169 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ) |
222 | 220, 221 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))) |
223 | 217, 219,
222 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧))) |
224 | 223 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) = ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁)) |
225 | 189 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℂ) |
226 | 221, 225 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧))) |
227 | 226 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁)) |
228 | 210, 224,
227 | 3eqtr4rd 2667 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)) |
229 | 204, 228 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁))) |
230 | 193, 229 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁))) |
231 | 102 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
232 | | gcdcom 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁)) |
233 | 231, 188,
232 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁)) |
234 | 185 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1) |
235 | 233, 234 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1) |
236 | | rpmul 15373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (seq1(
· , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1) → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1)) |
237 | 231, 157,
188, 236 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1) → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1)) |
238 | 235, 237 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1)) |
239 | 201 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1))))) |
240 | 239 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1 ↔ (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1)) |
241 | 238, 240 | sylibrd 249 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)) |
242 | 230, 241 | anim12d 586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))) |
243 | 242 | an12s 843 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))) |
244 | 243 | ex 450 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))) |
245 | 244 | a2d 29 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))) |
246 | 120, 245 | syld 47 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))) |
247 | 19, 32, 45, 58, 109, 246 | nnind 11038 |
. . . . . . . 8
⊢
((ϕ‘𝑁)
∈ ℕ → ((𝜑
∧ (ϕ‘𝑁) ≤
(ϕ‘𝑁)) →
((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))) |
248 | 6, 247 | mpcom 38 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)) |
249 | 5, 248 | mpdan 702 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)) |
250 | 249 | simpld 475 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁)) |
251 | 3 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈
ℕ0) |
252 | | zexpcl 12875 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧
(ϕ‘𝑁) ∈
ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) |
253 | 59, 251, 252 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) |
254 | 67 | eleq2i 2693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) |
255 | 254, 152 | sylan2br 493 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) |
256 | 155 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) |
257 | 64, 255, 256 | seqcl 12821 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈
ℤ) |
258 | 253, 257 | zmulcld 11488 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) ∈
ℤ) |
259 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
260 | 259 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
261 | | mulcom 10022 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) |
262 | 261 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) |
263 | | mulass 10024 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) |
264 | 263 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) |
265 | | ssid 3624 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
266 | 265 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
267 | | f1ocnv 6149 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆 → ◡𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇) |
268 | 60, 267 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇) |
269 | 2 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
270 | 59 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℤ) |
271 | 62 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑆) |
272 | 271 | adantrr 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑆) |
273 | 161, 272 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0..^𝑁)) |
274 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℤ) |
275 | 273, 274 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℤ) |
276 | 270, 275 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ℤ) |
277 | 62 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆) |
278 | 277 | adantrl 752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆) |
279 | 161, 278 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑧) ∈ (0..^𝑁)) |
280 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℤ) |
281 | 279, 280 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℤ) |
282 | 270, 281 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℤ) |
283 | | moddvds 14991 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℤ) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑧)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) − (𝐴 · (𝐹‘𝑧))))) |
284 | 269, 276,
282, 283 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑧)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) − (𝐴 · (𝐹‘𝑧))))) |
285 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) |
286 | 285 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · (𝐹‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦))) |
287 | 286 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) mod 𝑁)) |
288 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) mod 𝑁) ∈ V |
289 | 287, 87, 288 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ 𝑇 → (𝐺‘𝑦) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) mod 𝑁)) |
290 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧)) |
291 | 290 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 · (𝐹‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧))) |
292 | 291 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑧)) mod 𝑁)) |
293 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 · (𝐹‘𝑧)) mod 𝑁) ∈ V |
294 | 292, 87, 293 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ 𝑇 → (𝐺‘𝑧) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑧)) mod 𝑁)) |
295 | 289, 294 | eqeqan12d 2638 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑧)) mod 𝑁))) |
296 | 295 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑧)) mod 𝑁))) |
297 | 93 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
298 | 275 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) |
299 | 281 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) |
300 | 297, 298,
299 | subdid 10486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐴 · ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) − (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))) |
301 | 300 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) − (𝐴 · (𝐹‘𝑧))))) |
302 | 284, 296,
301 | 3bitr4d 300 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))) |
303 | | gcdcom 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁)) |
304 | 102, 59, 303 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁)) |
305 | 1 | simp3d 1075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1) |
306 | 304, 305 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1) |
307 | 306 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1) |
308 | 102 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
309 | 275, 281 | zsubcld 11487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) ∈ ℤ) |
310 | | coprmdvds 15366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)))) |
311 | 308, 270,
309, 310 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)))) |
312 | 275 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ) |
313 | 80 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑁 ∈
ℝ+) |
314 | | elfzole1 12478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦)) |
315 | 273, 314 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦)) |
316 | | elfzolt2 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘𝑦) < 𝑁) |
317 | 273, 316 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑦) < 𝑁) |
318 | | modid 12695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) < 𝑁)) → ((𝐹‘𝑦) mod 𝑁) = (𝐹‘𝑦)) |
319 | 312, 313,
315, 317, 318 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐹‘𝑦) mod 𝑁) = (𝐹‘𝑦)) |
320 | 281 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) |
321 | | elfzole1 12478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧)) |
322 | 279, 321 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧)) |
323 | | elfzolt2 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘𝑧) < 𝑁) |
324 | 279, 323 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐹‘𝑧) < 𝑁) |
325 | | modid 12695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑁)) → ((𝐹‘𝑧) mod 𝑁) = (𝐹‘𝑧)) |
326 | 320, 313,
322, 324, 325 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐹‘𝑧) mod 𝑁) = (𝐹‘𝑧)) |
327 | 319, 326 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (((𝐹‘𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹‘𝑧) mod 𝑁) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))) |
328 | | moddvds 14991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹‘𝑧) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)))) |
329 | 269, 275,
281, 328 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (((𝐹‘𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹‘𝑧) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)))) |
330 | | f1of1 6136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑇–1-1→𝑆) |
331 | 60, 330 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇–1-1→𝑆) |
332 | | f1fveq 6519 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹:𝑇–1-1→𝑆 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧)) |
333 | 331, 332 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧)) |
334 | 327, 329,
333 | 3bitr3d 298 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) ↔ 𝑦 = 𝑧)) |
335 | 311, 334 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑦 = 𝑧)) |
336 | 307, 335 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) → 𝑦 = 𝑧)) |
337 | 302, 336 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)) |
338 | 337 | ralrimivva 2971 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑇 ∀𝑧 ∈ 𝑇 ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)) |
339 | | dff13 6512 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐺:𝑇–1-1→𝑆 ↔ (𝐺:𝑇⟶𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 ∀𝑧 ∈ 𝑇 ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))) |
340 | 162, 338,
339 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑇–1-1→𝑆) |
341 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(1...(ϕ‘𝑁)) ∈ V |
342 | 67, 341 | eqeltri 2697 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑇 ∈ V |
343 | 342 | f1oen 7976 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆 → 𝑇 ≈ 𝑆) |
344 | 60, 343 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≈ 𝑆) |
345 | | fzofi 12773 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0..^𝑁) ∈
Fin |
346 | | ssfi 8180 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((0..^𝑁) ∈ Fin
∧ 𝑆 ⊆ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ Fin) |
347 | 345, 161,
346 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑆 ∈ Fin |
348 | | f1finf1o 8187 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑇 ≈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝐺:𝑇–1-1→𝑆 ↔ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝑆)) |
349 | 344, 347,
348 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑇–1-1→𝑆 ↔ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝑆)) |
350 | 340, 349 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝑆) |
351 | | f1oco 6159 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((◡𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇 ∧ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝑆) → (◡𝐹 ∘ 𝐺):𝑇–1-1-onto→𝑇) |
352 | 268, 350,
351 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ∘ 𝐺):𝑇–1-1-onto→𝑇) |
353 | | f1oeq23 6130 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁)) ∧ 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))) → ((◡𝐹 ∘ 𝐺):𝑇–1-1-onto→𝑇 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁)))) |
354 | 67, 67, 353 | mp2an 708 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐺):𝑇–1-1-onto→𝑇 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁))) |
355 | 352, 354 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ∘ 𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁))) |
356 | 255 | zcnd 11483 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) |
357 | 67 | eleq2i 2693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 ∈ 𝑇 ↔ 𝑤 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) |
358 | | fvco3 6275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐺:𝑇⟶𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑇) → ((◡𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑤) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑤))) |
359 | 162, 358 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑇) → ((◡𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑤) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑤))) |
360 | 359 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑇) → (𝐹‘((◡𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑤)) = (𝐹‘(◡𝐹‘(𝐺‘𝑤)))) |
361 | 60 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆) |
362 | 162 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑆) |
363 | | f1ocnvfv2 6533 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆 ∧ (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑆) → (𝐹‘(◡𝐹‘(𝐺‘𝑤))) = (𝐺‘𝑤)) |
364 | 361, 362,
363 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑇) → (𝐹‘(◡𝐹‘(𝐺‘𝑤))) = (𝐺‘𝑤)) |
365 | 360, 364 | eqtr2d 2657 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑤) = (𝐹‘((◡𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑤))) |
366 | 357, 365 | sylan2br 493 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐺‘𝑤) = (𝐹‘((◡𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑤))) |
367 | 260, 262,
264, 64, 266, 355, 356, 366 | seqf1o 12842 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) |
368 | 367, 257 | eqeltrd 2701 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) ∈
ℤ) |
369 | | moddvds 14991 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · ,
𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) ∈ ℤ ∧ (seq1( · ,
𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · ,
𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · ,
𝐺)‘(ϕ‘𝑁))))) |
370 | 2, 258, 368, 369 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · ,
𝐺)‘(ϕ‘𝑁))))) |
371 | 250, 370 | mpbid 222 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · ,
𝐺)‘(ϕ‘𝑁)))) |
372 | 257 | zcnd 11483 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈
ℂ) |
373 | 372 | mulid2d 10058 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1 · (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) |
374 | 367, 373 | eqtr4d 2659 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) = (1 · (seq1( ·
, 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))) |
375 | 374 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · ,
𝐺)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))) |
376 | 253 | zcnd 11483 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ) |
377 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℂ |
378 | | subdir 10464 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))) |
379 | 377, 378 | mp3an2 1412 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))) |
380 | 376, 372,
379 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · ,
𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))) |
381 | | zsubcl 11419 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈
ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈
ℤ) |
382 | 253, 83, 381 | sylancl 694 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈
ℤ) |
383 | 382 | zcnd 11483 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈
ℂ) |
384 | 383, 372 | mulcomd 10061 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · ,
𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
385 | 375, 380,
384 | 3eqtr2d 2662 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · ,
𝐺)‘(ϕ‘𝑁))) = ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
386 | 371, 385 | breqtrd 4679 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
387 | 249 | simprd 479 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1) |
388 | | coprmdvds 15366 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (seq1(
· , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ ((seq1( · ,
𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
389 | 102, 257,
382, 388 | syl3anc 1326 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
390 | 386, 387,
389 | mp2and 715 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) |
391 | | moddvds 14991 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈
ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
392 | 83, 391 | mp3an3 1413 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) →
(((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
393 | 2, 253, 392 | syl2anc 693 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))) |
394 | 390, 393 | mpbird 247 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) |