Theorem facndiv 13075

Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facndiv	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem facndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		recnz 11452	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ad2ant2lr 784	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
5		facdiv 13074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
6	5	3expa 1265	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 11481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	adantrl 752	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
9		zsubcl 11419	. . . . 5 ⊢ (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ)
10	9	ex 450	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
11	8, 10	syl5com 31	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
12		faccl 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
14		peano2cn 10208	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑀) ∈ ℂ → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
17	13	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
18		nncn 11028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		nnne0 11053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	18, 19	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
21	20	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
22		divsubdir 10721	. . . . . 6 ⊢ ((((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
24		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		pncan2 10288	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
26	13, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
27	26	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
28	27	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
29	23, 28	eqtr3d 2658	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
30	29	eleq1d 2686	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ ↔ (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
31	11, 30	sylibd 229	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
32	4, 31	mtod 189	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-fac 13061

This theorem is referenced by:  infpnlem1  15614