Theorem facndiv 13075

Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facndiv	|- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Proof of Theorem facndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2		recnz 11452	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan 488	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
4	3	ad2ant2lr 784	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( 1 / N ) e. ZZ )
5		facdiv 13074	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
6	5	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )
7	6	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
8	7	adantrl 752	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ )
9		zsubcl 11419	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ /\ ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ )
10	9	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ! ` M ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
11	8, 10	syl5com 31	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ ) )
12		faccl 13070	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
13	12	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
14		peano2cn 10208	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` M ) e. CC -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC )
17	13	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ! ` M ) e. CC )
18		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
20	18, 19	jca 554	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
22		divsubdir 10721	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) e. CC /\ ( ! ` M ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) )
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) )
24		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
25		pncan2 10288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ! ` M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
26	13, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) = 1 )
27	26	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
28	27	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) - ( ! ` M ) ) / N ) = ( 1 / N ) )
29	23, 28	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) = ( 1 / N ) )
30	29	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) - ( ( ! ` M ) / N ) ) e. ZZ <-> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
31	11, 30	sylibd 229	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> ( ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ -> ( 1 / N ) e. ZZ ) )
32	4, 31	mtod 189	1 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) /\ ( 1 < N /\ N <_ M ) ) -> -. ( ( ( ! ` M ) + 1 ) / N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-fac 13061

This theorem is referenced by:  infpnlem1  15614