Theorem fmtno5faclem2 41492

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 41494. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11313	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11314	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11307	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11311	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11512	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2622	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 11309	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 11646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 11598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 11581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 11652	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 11102	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 10225	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 4, 29, 31	decmul1 11585	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 4, 32, 31	decmul1 11585	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 11091	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 11579	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 11098	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 11643	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 11587	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 10043	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 1, 40, 41	decmul1 11585	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 11154	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 11579	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 11581	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 11587	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1483  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  ;cdc 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  41494