Theorem fmtno5fac 41494

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 11313	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 11307	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 11314	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 41493	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 11504	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2622	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 11156	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 11535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 11616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 11102	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addid1i 10223	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 11570	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 11570	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 11535	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 11614	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 11572	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 11570	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addid2i 10224	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 11570	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 41492	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 41491	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 11593	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2631	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 11304	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10042	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2631	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 11593	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 41469	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2655	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1483  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  41495