Theorem fourierdlem6 40330

Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem6.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj	⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem6	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem6.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
2	1	zred 11482	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
3		fourierdlem6.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 11482	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℝ)
6		fourierdlem6.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
7		fourierdlem6.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		fourierdlem6.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 10458	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl5eqel 2705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12		fourierdlem6.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13	8, 7	posdifd 10614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
14	12, 13	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
15	14, 6	syl6breqr 4695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
16	10, 15	elrpd 11869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
17		fourierdlem6.jel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18		fourierdlem6.iel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	8, 7, 17, 18	iccsuble 39745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
20	2	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
21	4	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
22	10	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	subdird 10487	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24		fourierdlem6.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25	24	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
26	2, 10	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
27	26	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
28	4, 10	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	pnpcand 10429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
31	23, 30	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
32	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
33	19, 31, 32	3brtr4d 4685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
34	11, 10, 16, 33	lediv1dd 11930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
35	5	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℂ)
36	15	gt0ne0d 10592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
37	35, 22, 36	divcan4d 10807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽 − 𝐼))
38	22, 36	dividd 10799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
39	34, 37, 38	3brtr3d 4684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ≤ 1)
40		1red 10055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	2, 4, 40	lesubadd2d 10626	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
42	39, 41	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43		fourierdlem6.iltj	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
44		zltp1le 11427	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
45	3, 1, 44	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
46	43, 45	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
47	4, 40	readdcld 10069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
48	2, 47	letri3d 10179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
49	42, 46, 48	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℤcz 11377  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-rp 11833  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  fourierdlem35  40359  fourierdlem51  40374