Theorem divcan4d 10807

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 10712	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  mvllmuld  10857  mulge0b  10893  ltmuldiv  10896  rimul  11011  mul2lt0rlt0  11932  mulmod0  12676  2txmodxeq0  12730  expaddzlem  12903  mulsubdivbinom2  13046  facdiv  13074  permnn  13113  cjdiv  13904  sqrtdiv  14006  absdiv  14035  sqreulem  14099  gcddiv  15268  divgcdcoprm0  15379  hashgcdlem  15493  sylow2blem3  18037  cnflddiv  19776  cnsubrg  19806  i1fmullem  23461  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem6  23487  dvsincos  23744  ftc1lem4  23802  vieta1lem2  24066  aaliou3lem9  24105  root1eq1  24496  nnlogbexp  24519  relogbcxp  24523  lawcoslem1  24545  chordthmlem2  24560  chordthmlem4  24562  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dquartlem1  24578  efiatan2  24644  tanatan  24646  regamcl  24787  basellem3  24809  bclbnd  25005  gausslemma2dlem3  25093  2lgslem1a2  25115  2lgslem3b  25122  2lgslem3c  25123  2lgslem3d  25124  2sqlem3  25145  vmadivsum  25171  dchrmusum2  25183  dchrmusumlem  25211  vmalogdivsum  25228  selberg3lem1  25246  pntrlog2bndlem4  25269  pntlemb  25286  normcan  28435  dya2icoseg  30339  bayesth  30501  signsplypnf  30627  divsqrtid  30672  bj-ldiv  33155  bj-bary1lem  33160  ftc1cnnclem  33483  dvasin  33496  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  proot1ex  37779  divcan8d  39527  wallispilem5  40286  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem15  40305  dirkertrigeqlem1  40315  dirkertrigeqlem2  40316  dirkertrigeqlem3  40317  dirkercncflem4  40323  fourierdlem6  40330  fourierdlem19  40343  fourierdlem26  40350  fourierdlem39  40363  fourierdlem42  40366  fourierdlem63  40386  fourierdlem65  40388  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  2zrngnmlid  41949  mvlrmuld  42522