Theorem fperiodmul 39518

Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmul	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmul.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3		fperiodmul.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fperiodmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		fperiodmul.per	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
9	8	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10	2, 4, 5, 7, 9	fperiodmullem 39517	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
11	6	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fperiodmul.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	3	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
16	11, 15	subnegd 10399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
17	13, 14	mulneg1d 10483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
18	17	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
19	18	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
20	16, 19	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
21	20	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
22	21	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
23	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
24	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25		znnn0nn 11489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
26	12, 25	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 11351	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
28	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
29	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	29	zred 11482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	renegcld 10457	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
32	31, 24	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
33	28, 32	resubcld 10458	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
34	8	adantlr 751	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
35	23, 24, 27, 33, 34	fperiodmullem 39517	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
36	28	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
37	30	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
38	37	negcld 10379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
39	24	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 10060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	36, 40	npcand 10396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
42	41	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
43	22, 35, 42	3eqtr2d 2662	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
44	10, 43	pm2.61dan 832	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem94  40417  fourierdlem97  40420  fourierdlem113  40436