Theorem fsumdvdsmul 24921

Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that "Σ𝑘 ∥ 𝑁𝐹(𝑘) is a multiplicative function if 𝐹 is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmulf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x	⊢ 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}
dvdsmulf1o.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsmulf1o.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
fsumdvdsmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
fsumdvdsmul.7	⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsmul	⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐷,𝑖   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑖,𝑗,𝑘,𝑋   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑖,𝑌,𝑗,𝑘   𝑖,𝑍,𝑗   𝑥,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsmul

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		dvdsmulf1o.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}
3		dvdsmulf1o.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		dvdsssfz1 15040	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ (1...𝑀))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ (1...𝑀))
6	2, 5	syl5eqss 3649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (1...𝑀))
7		ssfi 8180	. . . 4 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑋 ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
9		fzfid 12772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
10		dvdsmulf1o.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
11		dvdsmulf1o.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
12		dvdsssfz1 15040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
14	10, 13	syl5eqss 3649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (1...𝑁))
15		ssfi 8180	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ Fin)
16	9, 14, 15	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
17		fsumdvdsmul.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	16, 17	fsumcl 14464	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ ℂ)
19		fsumdvdsmul.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	8, 18, 19	fsummulc1 14517	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵))
21	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
22	17	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	21, 19, 22	fsummulc2 14516	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 (𝐴 · 𝐵))
24		fsumdvdsmul.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
25	24	anassrs 680	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
26	25	sumeq2dv 14433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝑌 (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
27	23, 26	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
28	27	sumeq2dv 14433	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
29		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
30		df-ov 6653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 · 𝑘) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
31	29, 30	syl6eqr 2674	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = (𝑗 · 𝑘))
32	31	csbeq1d 3540	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 = ⦋(𝑗 · 𝑘) / 𝑖⦌𝐶)
33		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 · 𝑘) ∈ V
34		fsumdvdsmul.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
35	33, 34	csbie 3559	. . . . 5 ⊢ ⦋(𝑗 · 𝑘) / 𝑖⦌𝐶 = 𝐷
36	32, 35	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 = 𝐷)
37	19	adantrr 753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	17	adantrl 752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	37, 38	mulcld 10060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	24, 39	eqeltrrd 2702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
41	36, 8, 16, 40	fsumxp 14503	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
42		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝐶
43		nfcsb1v 3549	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶
44		csbeq1a 3542	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑤 → 𝐶 = ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶)
45	42, 43, 44	cbvsumi 14427	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶 = Σ𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶
46		csbeq1 3536	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ( · ‘𝑧) → ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 = ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
47		xpfi 8231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
48	8, 16, 47	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
49		dvdsmulf1o.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
50		dvdsmulf1o.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
51	3, 11, 49, 2, 10, 50	dvdsmulf1o 24920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→𝑍)
52		fvres 6207	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
53	52	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
54	40	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑋 ∀𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
55	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → (⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
56	55	ralxp 5263	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑋 ∀𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
57	54, 56	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
58		ax-mulf 10016	. . . . . . . . . 10 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
59		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
61		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ ℕ
62	2, 61	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 ⊆ ℕ
63		nnsscn 11025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
64	62, 63	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
65		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
66	10, 65	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ ℕ
67	66, 63	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 ⊆ ℂ
68		xpss12 5225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
69	64, 67, 68	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)
70	46	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ( · ‘𝑧) → (⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
71	70	ralima 6498	. . . . . . . . 9 ⊢ (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
72	60, 69, 71	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
73		df-ima 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌))
74		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→𝑍 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto→𝑍)
75		forn 6118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto→𝑍 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
76	51, 74, 75	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
77	73, 76	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
78	77	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
79	72, 78	syl5bbr 274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
80	57, 79	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
81	80	r19.21bi 2932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
82	46, 48, 51, 53, 81	fsumf1o 14454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
83	45, 82	syl5eq 2668	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
84	41, 83	eqtr4d 2659	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)
85	20, 28, 84	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  ⦋csb 3533   ⊆ wss 3574  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   × cxp 5112  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  1c1 9937   · cmul 9941  ℕcn 11020  ...cfz 12326  Σcsu 14416   ∥ cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  sgmmul  24926  dchrisum0fmul  25195