Theorem fsumcl 14464

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		addcl 10018	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		0cnd 10033	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 14463	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934   + caddc 9939  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  14501  fsum0diag2  14515  fsummulc1  14517  fsumdivc  14518  fsumneg  14519  fsumsub  14520  fsum2mul  14521  fsumabs  14533  telfsumo  14534  fsumparts  14538  o1fsum  14545  cvgcmpce  14550  climfsum  14552  fsumiun  14553  binom1dif  14565  incexclem  14568  incexc  14569  isumsplit  14572  arisum2  14593  geoserg  14598  pwm1geoser  14600  mertenslem1  14616  mertens  14618  binomfallfaclem2  14771  bpolycl  14783  bpolysum  14784  bpolydiflem  14785  fsumkthpow  14787  fprodefsum  14825  eirrlem  14932  pwp1fsum  15114  pcfac  15603  sylow2a  18034  itg1addlem5  23467  itgcl  23550  dvmptfsum  23738  dvfsumabs  23786  dvfsumlem1  23789  plyf  23954  plymullem1  23970  coeeulem  23980  coemullem  24006  plycjlem  24032  taylpf  24120  mtest  24158  mtestbdd  24159  pserdvlem2  24182  abelthlem6  24190  abelthlem7  24192  advlogexp  24401  log2tlbnd  24672  birthdaylem2  24679  fsumharmonic  24738  lgamcvg2  24781  ftalem1  24799  ftalem5  24803  sgmf  24871  chtdif  24884  fsumdvdscom  24911  fsumdvdsmul  24921  logexprlim  24950  dchrsum2  24993  sumdchr2  24995  rpvmasumlem  25176  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem2  25179  dchrisum  25181  dchrmusum2  25183  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem1  25190  dchrvmasumiflem2  25191  rpvmasum2  25201  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  dchrisum0lem3  25208  dchrmusumlem  25211  dchrvmasumlem  25212  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  vmalogdivsum  25228  logsqvma  25231  selberglem1  25234  selberglem2  25235  selberg2lem  25239  selberg2  25240  selberg3lem1  25246  pntrsumo1  25254  pntrsumbnd  25255  selbergr  25257  selberg4r  25259  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntlemo  25296  ax5seglem6  25814  axlowdimlem16  25837  finsumvtxdg2ssteplem4  26444  dipcl  27567  indsumin  30084  esumcvg  30148  fsum2dsub  30685  reprsuc  30693  breprexplemc  30710  breprexp  30711  breprexpnat  30712  vtscl  30716  circlemeth  30718  hgt750lemd  30726  tgoldbachgtde  30738  subfacval2  31169  subfaclim  31170  fwddifnp1  32272  knoppndvlem11  32513  jm2.23  37563  fsumclf  39801  fsumsermpt  39811  sumnnodd  39862  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  stoweidlem26  40243  dirkertrigeqlem2  40316  dirkeritg  40319  fourierdlem73  40396  fourierdlem83  40406  elaa2lem  40450  etransclem23  40474  etransclem27  40478  etransclem31  40482  etransclem33  40484  etransclem39  40490  etransclem46  40497  etransclem47  40498  etransclem48  40499  pwdif  41501  altgsumbcALT  42131  nn0sumshdiglemA  42413  amgmlemALT  42549