Theorem fzo0to42pr 12555

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11311	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 11090	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 11097	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 11198	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 10160	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 12431	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1244	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 12501	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 12553	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 11411	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 12471	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 11098	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 11095	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 11081	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 10227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 10370	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 11080	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 11409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 12396	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 4272	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2648	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3765	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2644	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572  {cpr 4179   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  27024  upgr4cycl4dv4e  27045