Theorem gsum2dlem1 18369

Description: Lemma 1 for gsum2d 18371. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2d.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2dlem1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2dlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		imaexg 7103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
7		vex 3203	. . . . 5 ⊢ 𝑗 ∈ V
8		vex 3203	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
9	7, 8	elimasn 5490	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
10		df-ov 6653	. . . . 5 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
11		gsum2d.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl5eqel 2705	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
14	9, 13	sylan2b 492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
15		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))
16	14, 15	fmptd 6385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)):(𝐴 “ {𝑗})⟶𝐵)
17		gsum2d.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
18	17	fsuppimpd 8282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
19		rnfi 8249	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
21	9	biimpi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
22	7, 8	opelrn 5357	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ))
23	22	con3i 150	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
24	21, 23	anim12i 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )) → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
25		eldif 3584	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )))
26		eldif 3584	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )) ↔ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
27	24, 25, 26	3imtr4i 281	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
28		ssid 3624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
30		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
31	2, 30	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
33	11, 29, 4, 32	suppssr 7326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
34	10, 33	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
35	27, 34	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
36	35, 6	suppss2 7329	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ⊆ ran (𝐹 supp 0 ))
37		ssfi 8180	. . 3 ⊢ ((ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ⊆ ran (𝐹 supp 0 )) → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ∈ Fin)
38	20, 36, 37	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ∈ Fin)
39	1, 2, 3, 6, 16, 38	gsumcl2 18315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115   “ cima 5117  Rel wrel 5119  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  Basecbs 15857  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  18370  gsum2d  18371