Theorem hash2iun1dif1 14556

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (#‘𝐶) = 1)

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
3		diffi 8192	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
6	2, 5	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
7		hash2iun1dif1.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
8		hash2iun1dif1.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
9		hash2iun1dif1.db	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
10	1, 6, 7, 8, 9	hash2iun 14555	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (#‘𝐶))
11		hash2iun1dif1.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (#‘𝐶) = 1)
12	11	2sumeq2dv 14436	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (#‘𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1)
13		1cnd 10056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14		fsumconst 14522	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((#‘𝐵) · 1))
15	6, 13, 14	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((#‘𝐵) · 1))
16	15	sumeq2dv 14433	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐵) · 1))
17	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
18	17	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘𝐵) = (#‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
19		hashdifsn 13202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((#‘𝐴) − 1))
20	1, 19	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((#‘𝐴) − 1))
21	18, 20	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘𝐵) = ((#‘𝐴) − 1))
22	21	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((#‘𝐵) · 1) = (((#‘𝐴) − 1) · 1))
23	22	sumeq2dv 14433	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐵) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((#‘𝐴) − 1) · 1))
24		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
25	1, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
27		peano2cnm 10347	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℂ → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
29	28	mulid1d 10057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) · 1) = ((#‘𝐴) − 1))
30	29	sumeq2ad 14434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((#‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐴) − 1))
31		fsumconst 14522	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐴) − 1) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
32	1, 28, 31	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐴) − 1) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
33	30, 32	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((#‘𝐴) − 1) · 1) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
34	16, 23, 33	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
35	10, 12, 34	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571  {csn 4177  ∪ ciun 4520  Disj wdisj 4620  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  1c1 9937   · cmul 9941   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  27196  fusgreghash2wspv  27199