Theorem hashle2pr 13259

Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle2pr	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashxnn0 13127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2		xnn0le2is012 12076	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (#‘𝑃) ≤ 2) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2))
3	1, 2	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) ≤ 2) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2))
4	3	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2)))
5		hasheq0 13154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6		eqneqall 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
7	5, 6	syl6bi 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9		hash1snb 13207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
11		preq12 4270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12		dfsn2 4190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
13	11, 12	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
15	10, 10, 14	spc2ev 3301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
16	15	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
17	9, 16	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 1 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
18	17	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
19	18	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
20	19	expcom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21		hash2pr 13251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
22	21	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
23	22	expcom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
24	8, 20, 23	3jaoi 1391	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
26	4, 25	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
28	27	imp 445	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) = (#‘{𝑎, 𝑏}))
30		hashprlei 13250	. . . . 5 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (#‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
31	30	simpri 478	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
32	29, 31	syl6eqbr 4692	. . 3 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) ≤ 2)
33	32	exlimivv 1860	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) ≤ 2)
34	28, 33	impbid1 215	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   ≤ cle 10075  2c2 11070  ℕ₀^*cxnn0 11363  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashle2prv  13260