Theorem hashreshashfun 13226

Description: The number of elements of a finite function expressed by a restriction. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashreshashfun	⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘𝐴) = ((#‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem hashreshashfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
2		hashfun 13224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (Fun 𝐴 ↔ (#‘𝐴) = (#‘dom 𝐴)))
3	2	3ad2ant2 1083	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun 𝐴 ↔ (#‘𝐴) = (#‘dom 𝐴)))
4	1, 3	mpbid 222	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘𝐴) = (#‘dom 𝐴))
5		dmfi 8244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
6	5	anim1i 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
7	6	3adant1 1079	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
8		hashssdif 13200	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((#‘dom 𝐴) − (#‘𝐵)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((#‘dom 𝐴) − (#‘𝐵)))
10	9	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((#‘𝐵) + (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘𝐵) + ((#‘dom 𝐴) − (#‘𝐵))))
11		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
12	11	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))
13		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (#‘𝐵) ∈ ℂ))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (#‘𝐵) ∈ ℂ))
17	16	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
18		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (#‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
19	5, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
22	17, 21	jca 554	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((#‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (#‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
23	22	3adant1 1079	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((#‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (#‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
24		pncan3 10289	. . . 4 ⊢ (((#‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (#‘dom 𝐴) ∈ ℂ) → ((#‘𝐵) + ((#‘dom 𝐴) − (#‘𝐵))) = (#‘dom 𝐴))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((#‘𝐵) + ((#‘dom 𝐴) − (#‘𝐵))) = (#‘dom 𝐴))
26	10, 25	eqtr2d 2657	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘dom 𝐴) = ((#‘𝐵) + (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
27		hashres 13225	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (#‘𝐵))
28	27	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘𝐵) = (#‘(𝐴 ↾ 𝐵)))
29	28	oveq1d 6665	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((#‘𝐵) + (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
30	4, 26, 29	3eqtrd 2660	1 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (#‘𝐴) = ((#‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (#‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  Fun wfun 5882  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem1  26441