Theorem hashssdif 13200

Description: The size of the difference of a finite set and a subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashssdif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((#‘𝐴) − (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 8180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2		diffi 8192	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3		disjdif 4040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
4		hashun 13171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
5	3, 4	mp3an3 1413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
6	1, 2, 5	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
7	6	anabss1 855	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
8		undif 4049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
9	8	biimpi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (#‘𝐴))
11	10	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((#‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))) ↔ (#‘𝐴) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((#‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))) ↔ (#‘𝐴) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
13	7, 12	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (#‘𝐴) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
14	13	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (#‘𝐴))
15		hashcl 13147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 11353	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
17		hashcl 13147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
19	18	nn0cnd 11353	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
20		hashcl 13147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 11353	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
23		subadd 10284	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (#‘𝐴)))
24	16, 19, 22, 23	syl3an 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (#‘𝐴)))
25	24	3anidm13 1384	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (#‘𝐴)))
26	25	anabss5 857	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (#‘𝐴)))
27	14, 26	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
28	27	eqcomd 2628	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (#‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((#‘𝐴) − (#‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashdif  13201  hashdifsn  13202  hashreshashfun  13226  brfi1indlem  13278  uvtxanm1nbgr  26305  clwwlknclwwlkdifnum  26874  ballotlemfmpn  30556  ballotth  30599  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436