Theorem hashunlei 13212

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashunlei.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
hashunlei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n	⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashunlei	⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (#‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashunlei.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
2		hashunlei.a	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐾)
3	2	simpli 474	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		hashunlei.b	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀)
5	4	simpli 474	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		unfi 8227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	mp2an 708	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin
8	1, 7	eqeltri 2697	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ Fin
9	1	fveq2i 6194	. . . 4 ⊢ (#‘𝐶) = (#‘(𝐴 ∪ 𝐵))
10		hashun2 13172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
11	3, 5, 10	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (#‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))
12	9, 11	eqbrtri 4674	. . 3 ⊢ (#‘𝐶) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))
13	2	simpri 478	. . . . 5 ⊢ (#‘𝐴) ≤ 𝐾
14	4	simpri 478	. . . . 5 ⊢ (#‘𝐵) ≤ 𝑀
15		hashcl 13147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 11303	. . . . . 6 ⊢ (#‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashcl 13147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐵) ∈ ℕ0
20	19	nn0rei 11303	. . . . . 6 ⊢ (#‘𝐵) ∈ ℝ
21		hashunlei.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
22	21	nn0rei 11303	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
23		hashunlei.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
24	23	nn0rei 11303	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
25	17, 20, 22, 24	le2addi 10591	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
26	13, 14, 25	mp2an 708	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27		hashunlei.n	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
28	26, 27	breqtri 4678	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ 𝑁
29		hashcl 13147	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (#‘𝐶) ∈ ℕ0)
30	8, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘𝐶) ∈ ℕ0
31	30	nn0rei 11303	. . . 4 ⊢ (#‘𝐶) ∈ ℝ
32	17, 20	readdcli 10053	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℝ
33	22, 24	readdcli 10053	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
34	27, 33	eqeltrri 2698	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
35	31, 32, 34	letri 10166	. . 3 ⊢ (((#‘𝐶) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (#‘𝐶) ≤ 𝑁)
36	12, 28, 35	mp2an 708	. 2 ⊢ (#‘𝐶) ≤ 𝑁
37	8, 36	pm3.2i 471	1 ⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (#‘𝐶) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℝcr 9935   + caddc 9939   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashprlei  13250  hashtplei  13266  kur14lem8  31195