Theorem hgt750lemg 30732

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemg.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
hgt750lemg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemg	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑇‘𝑏) → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
2	1	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑇‘𝑏) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
3		tpfi 8236	. . . . . 6 ⊢ {0, 1, 2} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
5		hgt750lemg.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
6		fzo0to3tp 12554	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
7		f1oeq23 6130	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
8	6, 6, 7	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9	5, 8	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
10		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
11		hgt750lemg.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
13		hgt750lemg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
15		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
16	15, 6	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
17	14, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘𝑎) ∈ ℕ)
18	12, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℂ)
20	2, 4, 9, 10, 19	fprodf1o 14676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
21		hgt750lemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇)))
23		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
24	23	coeq1d 5283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → (𝑐 ∘ 𝑇) = (𝑁 ∘ 𝑇))
25		hgt750lemg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)
26		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
28		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
29		fex2 7121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇:(0..^3)⟶(0..^3) ∧ (0..^3) ∈ V ∧ (0..^3) ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
30	27, 28, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
31		coexg 7117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑅 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
32	25, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
33	22, 24, 25, 32	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
35	34	fveq1d 6193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏))
36		f1ofun 6139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
39		f1odm 6141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
40	9, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇 ↔ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
42	41	biimpar 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
43		fvco 6274	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
44	38, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
45	35, 44	eqtr2d 2657	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑁)‘𝑏))
46	45	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
47	46	prodeq2dv 14653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
48	20, 47	eqtr2d 2657	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)))
49		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝐹‘𝑁)‘0))
50	49	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)))
51		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝐹‘𝑁)‘1))
52	51	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)))
53		c0ex 10034	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
55		1ex 10035	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
57	33	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0))
58	53	tpid1 4303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
59	58, 40	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
60		fvco 6274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
61	37, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
62	57, 61	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
63	58, 6	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
65	27, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
66	13, 65	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
67	62, 66	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) ∈ ℕ)
68	11, 67	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
70	33	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1))
71	55	tpid2 4304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
72	71, 40	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
73		fvco 6274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
74	37, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
75	70, 74	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
76	71, 6	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
78	27, 77	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
79	13, 78	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
80	75, 79	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) ∈ ℕ)
81	11, 80	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
82	81	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
83		0ne1 11088	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
85		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 2 → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝐹‘𝑁)‘2))
86	85	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))
87		2ex 11092	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ V)
89	33	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2))
90	87	tpid3 4307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
91	90, 40	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
92		fvco 6274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
93	37, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
94	89, 93	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
95	90, 6	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
96	95	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
97	27, 96	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
98	13, 97	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
99	94, 98	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) ∈ ℕ)
100	11, 99	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
101	100	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
102		0ne2 11239	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 2)
104		1ne2 11240	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
105	104	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
106	50, 52, 54, 56, 69, 82, 84, 86, 88, 101, 103, 105	prodtp 29573	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))))
107		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘0))
108	107	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
109		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘1))
110	109	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
111	13, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
112	11, 111	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
113	112	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
114	13, 77	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
115	11, 114	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
116	115	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
117		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘2))
118	117	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
119	13, 96	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
120	11, 119	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
121	120	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
122	108, 110, 54, 56, 113, 116, 84, 118, 88, 121, 103, 105	prodtp 29573	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
123	48, 106, 122	3eqtr3d 2664	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
124	69, 82, 101	mulassd 10063	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))))
125	113, 116, 121	mulassd 10063	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
126	123, 124, 125	3eqtr3d 2664	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  {ctp 4181   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ..^cfzo 12465  ∏cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  hgt750lema  30735